Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đầu tiên,ta chứng minh BĐT phụ \(\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge2xy\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)^2-4xy}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng).Dấu "=" xảy ra khi x = y.
Và BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\).Áp dụng BĐT AM-GM(Cô si),ta có; \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\ge\frac{2}{\frac{\left(x+y\right)}{2}}=\frac{4}{x+y}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y
\(P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\)\(\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{2ab}\)
\(\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}\ge4+\frac{1}{\frac{1}{2}}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b và a + b = 1 tức là a=b=1/2
Vậy Min P = 6 khi a = b = 1/2
By Titu's Lemma we easy have:
\(D=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{17}{4}\)
Mk xin b2 nha!
\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+4xy\)
\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{1}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)
\(\ge\frac{4}{1^2}+2+\frac{1}{1^2}=4+2+1=7\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)
1/a/
\(A=\frac{2}{xy}+\frac{3}{x^2+y^2}=\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}+\frac{4}{x^2+y^2}\right)-\frac{1}{x^2+y^2}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{\left(x+y\right)^2}-\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}=16-2=14\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
b/
\(4B=\frac{4}{x^2+y^2}+\frac{8}{xy}+16xy=\left(\frac{4}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}\right)+\left(\frac{1}{xy}+16xy\right)+\frac{5}{xy}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{xy}.16xy}+\frac{5}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}\)
\(=16+8+20=44\)
\(\Rightarrow B\ge11\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Nhân cả 2 vế với a+b+c
Chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) tương tự với \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b};\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)luôn đúng do a;b>0
dễ rồi nhé
b) \(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)
\(P=\left(\frac{x+1}{x+1}+\frac{y+1}{y+1}+\frac{z+1}{z+1}\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(P=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel (mình nói bđt như vậy,chỗ này bạn cứ nói theo cái bđt đề bài cho đi) ta được:
\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+1+y+1+z+1}=\frac{9}{4}\)
=>\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)
=>Pmax=3/4 <=> x=y=z=1/3
We have : \(A=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\)
By Cauchy - Schwarz and AM - GM have :
\(A\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{2.\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2}{\left(a+b\right)^2}=\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\ge6\)
Then greatest posible of A is 6 when \(a=b=\frac{1}{2}\)
Ta có:
\(Q=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{4}{a^2+b^2}=\frac{4}{10}\)
Đẳng thức xảy ra tại \(a=b=\sqrt{5}\)
ta có A=\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{3ab}+\frac{1}{3bc}+\frac{1}{3ca}+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)
ta có \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{3ab}+...=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{\frac{2}{3}}{2ab}+...\ge\frac{\left(1+3.\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=....\)
đến đây thì dễ rồi, cái kia cũng svacxơ và chú ý ab+bc+ca<=(a+b+c)^2/3
mượn chỗ nhok chút!
Áp dụng bđt bu nhi a, ta có
\(\sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}\le\sqrt{2\left(x+y\right)}\)
mà \(\sqrt{2\left(x-y\right)^2+10x-6y+8}=\sqrt{2\left(x^2-2xy+y^2+5x-3y+4\right)}\)
=\(\sqrt{2\left(x-y+2\right)^2+2\left(x+y\right)}\ge\sqrt{2\left(x+y\right)}\)
=>VT<=VP
dấu = xảy ra <=> y=x+2
với x=y-2, thay vào A, ta có
A=\(x^4+\left(x+2\right)^2-5\left(x+x+2\right)+2020=x^4+x^2+4x+4-10x-10+2020\)
=\(x^4+x^2-6x+2014=x^4-2x^2+1+3\left(x^2-2x+1\right)+2010\)
=\(\left(x^2-1\right)^2+3\left(x-1\right)^2+2010\ge2010\)
dấu = xảy ra <=> x=1 và y=3
Ta có :\(A=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{3}{2ab}\)
\(A\ge\frac{4}{2ab+a^2+b^2}+\frac{3}{2ab}\)
\(A\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{3}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}\)
\(A\ge4+6=10\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2+b^2=2ab\\a+b=1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\a+b=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Vậy Min A = 10 <=> a = b = 1/2