K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
ND
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 1
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$\frac{1}{a}+a\geq 2\sqrt{\frac{1}{a}.a}=2$
$\frac{1}{4b}+b\geq 2\sqrt{\frac{1}{4b}.b}=1$
$\frac{1}{16c}+c\geq 2\sqrt{\frac{1}{16c}.c}=\frac{1}{2}$
Cộng các BĐT trên lại suy ra:
$M+a+b+c\geq 2+1+\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow M+1\geq 2+1+\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow M\geq \frac{5}{2}$
Vậy $M_{\min}=\frac{5}{2}$
13 tháng 1 2023
\(P=\dfrac{4}{a^2+b^2}+\dfrac{3}{ab}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\left(\dfrac{4}{a^2+b^2}+\dfrac{3}{ab}\right)\left[4\left(a^2+b^2\right)+12ab\right]\ge\left[\sqrt{\dfrac{4}{a^2+b^2}.4\left(a^2+b^2\right)}+\sqrt{\dfrac{3}{ab}.12ab}\right]^2=100\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{100}{4\left(a^2+b^2\right)+12ab}=\dfrac{100}{4\left(a+b\right)^2+4ab}=\dfrac{25}{\left(a+b\right)^2+ab}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{25}{4^2+ab}=\dfrac{25}{16+ab}\) (vì \(a+b\le4\)).
Mặt khác ta có: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\le\dfrac{4^2}{4}=4\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{25}{16+4}=\dfrac{5}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2\).
Vậy \(MinP=\dfrac{5}{4}\), đạt tại \(a=b=2\)
13 tháng 3 2016
Ta có:\(\frac{1}{a^2+1}=1-\frac{a^2}{a^2+1}>=1-\frac{a^2}{2a}=1-\frac{a}{2}\)
Tương tự \(\frac{1}{b^2+1}>=1-\frac{b}{2}\)
1/(c^2+1)>=1-c/2
S
0
TN
0
HH
1
\(P=\frac{4}{a}+\frac{1}{4b}=\left(\frac{4}{a}+4a\right)+\left(\frac{1}{4b}+4b\right)-4.\left(a+b\right)\)
\(=\frac{4}{a}+\frac{1}{4b}=\left(\frac{4}{a}+4a\right)+\left(\frac{1}{4b}+4b\right)-4.\frac{5}{4}\)
áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:
\(P\ge2\sqrt{\frac{4}{a}.4a}+2\sqrt{\frac{1}{4b}.4b}-5\)
\(=2.4+2.1-5=5\)
vậy MINP=5
\(P=\frac{4}{a}+\frac{1}{b}=\left(\frac{4}{a}+4a\right)+\left(\frac{1}{4b}+4b\right)-4a-4b\)
Áp dụng bất đẳng thức cho 2 số nguyên dương \(4a+\frac{4}{a},\frac{1}{4b}+4b>0\)ta đc:
\(4a+\frac{4}{a}\ge8\)
\(\frac{1}{4b}+4b\ge2\)
Và \(\frac{a}{b}=\frac{5}{4}\Rightarrow4\left(a+b\right)=5\)
\(\Rightarrow P\ge5\)