VD
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 8 2021
\(C=\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ab}\right)+3\left(ab+\dfrac{1}{16ab}\right)+\dfrac{29}{16ab}\)
\(C\ge\dfrac{16}{a^2+b^2+2ab}+6\sqrt{\dfrac{ab}{16ab}}+\dfrac{29}{4\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{16}{1}+\dfrac{6}{4}+\dfrac{29}{4}=\dfrac{99}{4}\)
DT
2
12 tháng 5 2017
Ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow1\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow ab\le\frac{1}{4}\)
Quay lại bài toán ta có:
\(K=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{1}{2ab}+\left(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\right)\)
\(\ge\frac{1}{\frac{2}{4}}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}=2+4=6\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
NT
1
29 tháng 11 2021
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow2\sqrt{ab}\le4\Leftrightarrow ab\le4\)
\(P=\left(\dfrac{2}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{ab}\right)+\dfrac{2}{ab}+2ab+\dfrac{32}{ab}\\ \Leftrightarrow P=2\left(\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}\right)+\dfrac{2}{ab}+2ab+\dfrac{32}{ab}\\ \Leftrightarrow P\ge2\cdot\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}+2\sqrt{\dfrac{32}{ab}\cdot2ab}+\dfrac{2}{4}\\ \Leftrightarrow P\ge\dfrac{8}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{64}+\dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow P\ge\dfrac{8}{16}+16+\dfrac{1}{2}=17\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=2\)
TT
0
TV
1
16 tháng 5 2016
Có: \(a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow a^2+b^2\ge2\)
\(\Rightarrow\left(a+b+1\right)\left(a^2+b^2\right)\ge2\left(a+b+1\right)\)
\(\Rightarrow Q\ge2\left(a+b\right)+\frac{8}{a+b}+2\)
Mà: \(2\left(a+b\right)+\frac{8}{a+b}\ge2\sqrt{2\left(a+b\right).\frac{8}{a+b}}=8\)
\(\Rightarrow Q\ge10\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=1
KT
2
NN
18 tháng 10 2020
\(C=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\)
Vì \(a,b>0\)\(\Rightarrow\) Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu ta có:
\(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}=\frac{4}{1}=4\)
Vì \(a,b>0\)\(\Rightarrow\)Áp dụng bđt Cô si ta có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow2\sqrt{ab}\le1\)\(\Rightarrow\left(2\sqrt{ab}\right)^2\le1\)
\(\Leftrightarrow4ab\le1\)\(\Leftrightarrow2ab\le\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow\frac{1}{2ab}\ge2\)
\(\Rightarrow C=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\ge4+2=6\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x+y=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy \(minC=6\)\(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
PN
18 tháng 10 2020
bài này đã có rất nhiều bạn hỏi rồi
Ta có hai bất đẳng thức phụ quen thuộc sau : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)(*) ; \(2xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)(**)
BĐT(*) \(< =>\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}< =>x^2+2xy+y^2\ge4xy< =>\left(x-y\right)^2\ge0\)(đúng)
BĐT(**)\(< =>x^2+2xy+y^2\ge4xy< =>\left(x-y\right)^2\ge0\)(đúng
Lại có \(C=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\)
Sử dụng bất đẳng thức phụ (*) : \(C\ge\frac{1}{2ab}+\frac{4}{a^2+2ab+b^2}=\frac{1}{2ab}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2ab}+4\)
Sử dụng bất đẳng thức phụ (**) : \(\frac{1}{2ab}+4\ge\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}+4=2+4=6\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của C = 6 đạt được khi a = b = 1/2
VD
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 4 2021
\(2a\ge ab+4\ge2\sqrt{4ab}=4\sqrt{ab}\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a}{b}}\ge2\Rightarrow\dfrac{a}{b}\ge4\)
\(T=\dfrac{a}{b}+\dfrac{2b}{a}=\dfrac{a}{8b}+\dfrac{2b}{a}+\dfrac{7}{8}.\dfrac{a}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{2ab}{8ab}}+\dfrac{7}{8}.4=\dfrac{9}{2}\)
\(T_{min}=\dfrac{9}{2}\) khi \(\left(a;b\right)=\left(4;1\right)\)