Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
e)
\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\) ( luôn đúng)
=> ĐPCM
Lời giải:
a)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
\(x^3+x^2+x+1\geq 4\sqrt[4]{x^3.x^2.x.1}=4\sqrt[4]{x^6}\)
\(\Rightarrow (x^3+x^2+x+1)^2\geq 16\sqrt{x^6}\)
\(\Leftrightarrow (x^3+x^2+x+1)^2\geq 16x^3\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=1\)
b)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{b+c}{a}.1\leq \left(\frac{\frac{b+c}{a}+1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\left(\frac{b+c+a}{a}\right)^2\)
\(\Rightarrow \frac{a}{b+c}\geq 4\left(\frac{a}{a+b+c}\right)^2\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a}{a+b+c}\)
Thực hiện tương tự với cac phân thức còn lại và cộng theo vế thu được:
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\)
Dấu bằng xảy ra khi
\(\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b}{c}=1\Rightarrow a+b+c=2a=2b=2c\)
\(\Rightarrow a=b=c\Rightarrow \frac{b+c}{a}=2\neq 1\) (vô lý)
Do đó dấu bằng không xảy ra
Vì vậy: \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\)
a) Please xem lại đề
b) \(a+b\ge2\sqrt{a}+2\sqrt{b}-2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{a}+1\right)+\left(b-2\sqrt{b}+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-1\right)^2+\left(\sqrt{b}-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)
c) Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số
\(a+\dfrac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\dfrac{1}{b\left(a-b\right)}\ge3\sqrt[3]{\left(a-b\right).b.\dfrac{1}{b\left(a-b\right)}}=3\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a-b=b=\dfrac{1}{b\left(a-b\right)}\Leftrightarrow a=2;b=1\)
d) Áp dụng BĐT Cauchy cho 4 số
\(\dfrac{3x^4+16}{x^3}=3x+\dfrac{16}{x^3}=x+x+x+\dfrac{16}{x^3}\ge4\sqrt[4]{x.x.x.\dfrac{16}{x^3}}=8\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x=\dfrac{16}{x^3}\Leftrightarrow x=2\)