Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho a,b,c > 0 thỏa mãn: a2+b2+c2=1
Tìm GTNN của C= \(\frac{bc}{a}\)+\(\frac{ac}{b}\)+\(\frac{ab}{c}\)
\(Q=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{4}{a^2+b^2}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b và a^2 +b^2 = 10; a, b> 0 <=> a = b = \(\sqrt{5}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$\frac{a^2}{4}+\frac{1}{a^2}\geq 1$
$\frac{b^2}{4}+\frac{1}{b^2}\geq 1$
$\frac{c^2}{4}+\frac{1}{c^2}\geq 1$
$\frac{3}{4}a^2\geq \frac{3}{2}; \frac{3}{4}b^2\geq \frac{3}{2}; \frac{3}{4}c^2\geq \frac{3}{2}$ do $a,b,c\geq \sqrt{2}$
Cộng theo vế các BĐT trên ta có:
$P\geq \frac{15}{2}$
Vậy $P_{\min}=\frac{15}{2}$ khi $a=b=c=\sqrt{2}$
Mình xem phép làm câu 1 ạ.
Đề là?
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\)(1)
Chứng minh tương đương
\(\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\ge4\)<=> 12ac - 9bc - 9ab + 6b2 \(\le\)0 ( quy đồng ) (2)
Từ (1) <=> 2ac = ab + bc Thay vào (2) <=> 6ab + 6bc - 9bc - 9ab + 6b2 \(\le\)0
<=> a + c \(\ge\)2b
Từ (1) => \(\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+c}\)
=> a + c \(\ge\)2b đúng => BĐT ban đầu đúng
Dấu "=" xảy ra <=> a = c = b
a) Ta có ; \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a^2+2ab+b^2\right)\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=2\)
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 tại a = b = 1
b) Ta có : \(B=\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2=\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)+\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)+4\)
Lại có : \(a^2+\frac{1}{a^2}\ge2\) ; \(b^2+\frac{1}{b^2}\ge2\)
\(\Rightarrow B\ge2+2+4=8\). Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a^2=\frac{1}{a^2}\\b^2=\frac{1}{b^2}\\a+b=2\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow a=b=1\)(vì a,b>0)
Vậy B đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8 tại a = b = 1