Question

[Angela jolie]

Cho a,b là các số thực khác 0. Biết rằng phương trình a(a - x)² + b(x - b)² = 0 có nghiệm duy nhất. Chứng minh |a| = |b|

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:
Thực hiện khai triển, PT đã cho tương đương với:

$(a+b)x^2-2x(a^2+b^2)+(a^3+b^3)=0(*)$

Nếu $a+b=0$:

$a^2+b^2\neq 0$ với mọi $a,b\neq 0$. PT $(*)$ có nghiệm duy nhất \(x=\frac{a^3+b^3}{2(a^2+b^2)}\) (thỏa mãn yc)

$a+b=0\Rightarrow a=-b\Rightarrow |a|=|b|(1)$

Nếu $a+b\neq 0$:

PT $(*)$ là PT bậc 2 ẩn $x$ có nghiệm duy nhất khi mà:

$\Delta'=(a^2+b^2)^2-(a+b)(a^3+b^3)=0$

$\Leftrightarrow 2a^2b^2-ab^3-a^3b=0$

$\Leftrightarrow -ab(a-b)^2=0$

Vì $a,b\neq 0\Rightarrow ab\neq 0$

$\Rightarrow (a-b)^2=0\Rightarrow a=b\Rightarrow |a|=|b|(2)$

Từ $(1);(2)$ ta có đpcm.