Question

[Trương Tuệ Nga]

Cho a,b là các số nguyên dương sao cho a²+b² chia hết cho ab-1. Chứng minh răng \(\frac{a^2+b^2}{ab-1}\)là số nguyên tố

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

Giả sử   \(\frac{a^2+b^2}{ab-1}=k\left(k\in Z\right)\). Ta sẽ đi tìm k và chứng minh k là số nguyên tố.

Đặt \(m=a+b;n=a-b\), ta có \(\frac{a^2+b^2}{ab-1}=k\Rightarrow\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2-4}=\frac{k}{2}\)

TH1: Nếu trong a và b có một số chẵn, một số lẻ:

Khi đó k là số lẻ. Đặt \(d=\left(m^2+n^2;m^2-n^2-4\right)\Rightarrow d=\left(2m^2-4,2n^2+4\right)\)

\(\Leftrightarrow\) d | 2(m² + n²) = 4(a² + b²)

Mà \(\hept{\begin{cases}m^2+n^2=kd\\m^2-n^2-4=2d\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow2x^2-4=d\left(k+2\right)\Rightarrow\) d chia hết 2.

Lại có a² + b² là số lẻ nên d = 2 hoặc d = 4.

Thay vào hệ bên trên và giả thiết thì (a,b) = (-2;-1) hoặc (2;1). Khi đó k = 5 và nó là số nguyên tố.

TH2: Nếu cả a và b đều lẻ

\(\Rightarrow a=2k+1;b=2h+1\Rightarrow k=\frac{2\left(k^2+h^2+k+h\right)+1}{2kh+k+h}\) là số lẻ.

Tương tự như bên trên ta có d | 4(a² + b²) = 8(2k² + 2h² + 2k + 2h + 1) 

Và 2m² - 4 = (k+2)d \(\Rightarrow d⋮2\Rightarrow d\in\left\{2;4;8\right\}\)

Thế vào hệ ta cũng tìm được (a;b) = (3;1) hoặc (-3;-10 và k = 5.

Vậy k luôn bằng 5 và nó là số nguyên tố.