Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Có: \(1=\left(a+b\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(1+1\right)=2\left(a^2+b^2\right)\)
Theo bđt Bunhiacopxki có: \(\left(\text{ax}+by\right)\le\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)
Dấu '=' xảy ra khi ay=bx
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2\right)\ge\frac{1}{2}\Rightarrow\left(a^2+b^2\right)^2\ge\frac{1}{4}\)
Dấu '=' xảy ra khi a=b=1/2
Khi đó : \(P=1:\frac{1}{4}+40.\frac{1}{8}=9\)
một cách khác :))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(a^4+b^4=\frac{a^4}{1}+\frac{b^4}{1}\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\)(1)
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(a^2+b^2=\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}\)(2)
Từ (1) và (2) => \(a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2}=\frac{1}{8}\)(3)
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có \(ab\le\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)=> \(\frac{1}{ab}\ge4\)(4)
Từ (3) và (4) => \(P=\frac{1}{ab}\cdot40\left(a^4+b^4\right)\ge4\cdot40\cdot\frac{1}{8}=20\)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = 1/2
Vậy MinP = 20
Áp dụng bđt Bunhiacopski ta có
\(A=3\left(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}\right)\ge3.\frac{\left(a+b\right)^2}{2+a+b}=\frac{3}{3}=1.\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
\(a-b=\sqrt{1-b^2}-\sqrt{1-a^2}\Leftrightarrow a+\sqrt{1+a^2}=b+\sqrt{1+b^2}\)
Bình phương cả 2 vế: \(2a\sqrt{1+a^2}=2b\sqrt{1+b^2}\)
Tiếp tục bình phương: \(a^2+a^4=b^2+b^4\)
\(\Leftrightarrow a^2-b^2+\left(b^2-a^2\right)\left(a^2+b^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)\left(1-a^2-b^2\right)=0\)
Đến đây ta có: \(\orbr{\begin{cases}a=b\\a^2+b^2=1\end{cases}}\)
Nếu a=b sẽ có vô số a,b TMDK nên đề bài nên có thêm điều kiện a,b phân biệt
Bài 1: diendantoanhoc.net
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\) BĐT cần chứng minh trở thành
\(\frac{x}{\sqrt{3zx+2yz}}+\frac{x}{\sqrt{3xy+2xz}}+\frac{x}{\sqrt{3yz+2xy}}\ge\frac{3}{\sqrt{5}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}+\frac{y}{\sqrt{5x}\cdot\sqrt{3y+2z}}+\frac{z}{\sqrt{5y}\cdot\sqrt{3z+2x}}\ge\frac{3}{5}\)
Theo BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(_{cyc}\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}\ge2\)\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(\frac{x}{3x+2y+5z}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x\left(3x+2y+5z\right)+y\left(5x+3y+2z\right)+z\left(2x+5y+3z\right)}\)
\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+7\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(xy+yz+zx\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{5\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right]}=\frac{3}{5}\)
Bổ sung bài 1:
BĐT được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
Từng ý nhé !!!
\(P=\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}=\frac{a^3}{abc}+\frac{b^3}{abc}+\frac{c^3}{abc}=\frac{1}{abc}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(\frac{1}{abc}.3abc=3\)
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{2}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a=b=c\end{cases}}\)
Xét \(a+b+c=0\) ta có :\(\hept{\begin{cases}a+b=-c\\a+c=-b\\b+c=-a\end{cases}}\)
\(Q=\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)-c^2}+\frac{b^2}{\left(b+c\right)\left(b-c\right)-a^2}+\frac{c^2}{\left(c+a\right)\left(c-a\right)-b^2}\)
\(=\frac{a^2}{-ac+bc-c^2}+\frac{b^2}{-ab+ac-a^2}+\frac{c^2}{-bc+ab-b^2}\)
\(=\frac{a^2}{-c\left(a+c\right)+bc}+\frac{b^2}{-a\left(a+b\right)+ac}+\frac{c^2}{-b\left(c+b\right)+ab}\)
\(=\frac{a^2}{bc+bc}+\frac{b^2}{ac+ac}+\frac{c^2}{ab+ab}\)
\(=\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ac}+\frac{c^2}{2ab}=\frac{1}{2abc}\left(a^3+b^3+c^3\right)=\frac{1}{2abc}.3abc=\frac{3}{2}\)
Xét \(a=b=c\) ta có :
\(Q=\frac{a^2}{a^2-a^2-a^2}+\frac{b^2}{b^2-b^2-b^2}+\frac{c^2}{c^2-c^2-c^2}=-1-1-1=-3\)
\(Q=\frac{1}{a^2+b^2}+2012+\frac{1}{ab}+4ab.\)
Ta có \(M=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}+4ab=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+8ab-4ab\)
Áp dụng bđt Cauchy ta có
\(M\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{2ab}.8ab}-\left(a+b\right)^2=7\)
=> \(Q\ge2012+7=2019\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=\(\frac{1}{2}\)
Vậy......
\(Q=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{2012ab+1}{ab}+4ab=\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\left(4ab+\frac{1}{4ab}\right)+\frac{1}{4ab}+2012\)
Áp dụng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y};\left(x+y\right)^2\ge4xy\),ta có:
\(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{4}{1}=4\)
\(\left(4ab+\frac{1}{4ab}\right)^2\ge4.4ab\cdot\frac{1}{4ab}=4\Rightarrow4ab+\frac{1}{4ab}\ge2\)
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\Rightarrow\frac{1}{ab}\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{4}{1}=4\Rightarrow\frac{1}{4ab}\ge1\)
\(\Rightarrow Q\ge4+2+1+2012=2019\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=1/2
2) Ta có : \(\left|x-1\right|+\left|1-x\right|=2\) (1)
Xét 3 trường hợp :
1. Với \(x>1\) , phương trình (1) trở thành : \(x-1+x-1=2\Leftrightarrow2x=4\Leftrightarrow x=2\) (thoả mãn)
2. Với \(x< 1\), phương trình (1) trở thành : \(1-x+1-x=2\Leftrightarrow2x=0\Leftrightarrow x=0\)(thoả mãn)
3. Với x = 1 , phương trình vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình : \(S=\left\{0;2\right\}\)
1) Cách 1:
Ta có ; \(A=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)
\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\)
Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy :\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\) ;\(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\) ; \(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2\)
\(\Rightarrow A\ge1+2+2+2=9\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}=\frac{b}{a}\\\frac{b}{c}=\frac{c}{b}\\\frac{a}{c}=\frac{c}{a}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow a=b=c\)
Vậy Min A = 9 <=> a = b = c
Cách 2 : Sử dụng bđt Bunhiacopxki : \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(1+1+1\right)^2=9\)
a - b = 1 => a = 1 + b
=> \(S=\frac{\left(b+1\right)^2+b^2}{b}=\frac{2b^2+2b+1}{b}=2b+\frac{1}{b}+2\ge2\sqrt{2b.\frac{1}{b}}+2=2\sqrt{2}+2\)
Dấu bằng xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}2b=\frac{1}{b}\\a=1+b\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=\frac{1}{\sqrt{2}}\\a=1+\frac{1}{\sqrt{2}}\end{cases}}\)
Vậy GTNN S = \(2\sqrt{2}+2\)