Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{a^2}{b+c}\)+\(\frac{b+c}{4}\)=\(\frac{\left(2a\right)^2+\left(b+c\right)^2}{4\left(b+c\right)}\)>=\(\frac{4a\left(b+c\right)}{4\left(b+c\right)}\)=a (b,c>0)
chứng minh tương tự ta có:\(\frac{b^2}{a+c}\)+\(\frac{c+a}{4}\)>=b
tương tự:\(\frac{c^2}{a+b}\)+\(\frac{a+b}{4}\)>=c
Cộng từng vế bất đẳng thức trên là được nha.Có gì ko hiểu thì hỏi mình
\(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{2}\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{8}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2-ab+b^2}{2}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{8}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2-ab+b^2}{2}\ge\frac{a^2+2ab+b^2}{8}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2-ab+b^2}{2}-\frac{a^2+2ab+b^2}{8}\ge\)
\(\Leftrightarrow\frac{4a^2-4ab+4b^2-a^2-2ab-b^2}{8}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{3a^2-6ab+3b^2}{8}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{3\left(a-b\right)^2}{8}\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\)
a) a2+b2-2ab=(a-b)2>=0
b) \(\frac{a^2+b^2}{2}\)\(\ge\)ab <=> \(\frac{a^2+b^2}{2}\)-ab\(\ge\)0 <=> \(\frac{\left(a-b\right)^2}{2}\)\(\ge\)0 (ĐPCM)
c) a2+2a < (a+1)2=a2+2a+1 (ĐPCM)
CM cái sau:
Ta có: \(a+\frac{1}{a}=\frac{a}{1}+\frac{1}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{1}.\frac{1}{a}}=2.1=2\) (bất đẳng thức Cauchy)
Chứng minh:
\(\left(a-b\right)^2\ge0\left(\forall a,b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
(áp dụng vào cái trên)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(a=\frac{1}{a}\Leftrightarrow a^2=1\Rightarrow a=1\left(a>0\right)\)
ta có \(a^2+2b^2+3=a^2+b^2+b^2+1+2.\)
áp dụng BĐT cauchy
=>\(a^2+2b^2+3>=2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)\)
=>\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}< =\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)
tương tự ta có \(\hept{\frac{1}{b^2+2c^2+3}< =\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)}}\),\(\frac{1}{c^2+2a^2+3}< =\frac{1}{2\left(ac+a+1\right)}\)
=>VT<=\(\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{ac+a+1}+\frac{1}{bc+c+1}\right)\)
<=>VT<=\(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{abc}{ac+a^2bc+abc}+\frac{abc}{bc+c+abc}\right)\)(do abc=1)
<=>VT<=\(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}\right)\)=\(\frac{1}{2}\left(\frac{ab+b+1}{ab+b+1}\right)=\frac{1}{2}\)(đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
1/(a^2+2b^2+3)+1/(b^2+2c^2+3)+1/(c^2+2a^2+3)
Tại có: abc=1 =>a=1;b=1;c=1.
Syu ra: 1/(1+2.1+3)+1/(1+2.1+3)+1/(1+2.1+3)
=1/6+1/6+1/6=1/2
=>1/(a^2+2b^2+3)+1/(b^2+2c^2+3)+1/(c^2+2a^2+3) \(\le\)1/2
=> đpcm