Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(a^{2010}+b^{2010}+a^{2012}+b^{2012}\)
\(=\left(a^{2010}+a^{2012}\right)+\left(b^{2010}+b^{2012}\right)\ge2a^{2011}+2b^{2011}\)
Dấu = xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}a^{2010}=a^{2012}\\b^{2010}=b^{2012}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a^{2013}+b^{2013}=2\)
giải cách nầy hợp lý hơn nè :
ta có: \(a^{2012}+b^{2012}=\left(a^{2011}+b^{2011}\right)\left(a+b\right)-ab\left(a^{2010}+b^{2010}\right)\) (1)
mà \(a^{2010}+b^{2010}=a^{2011}+b^{2011}=a^{2012}+b^{2012}\) nên
\(\left(1\right)\Leftrightarrow a^{2010}+b^{2010}=\left(a^{2010}+b^{2010}\right)\left(a+b\right)-ab\left(a^{2010}+b^{2010}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^{2010}+b^{2010}\right)\left(1-a-b+ab\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a^{2010}+b^{2010}=0\\1-a-b+ab=0\end{cases}}\)
+) với \(a^{2010}+b^{2010}=0\)
mà a>0 ; b>0 => ko có giá trị của a;b
+) với 1-a-b+ab=0
\(\Rightarrow\left(1-a\right)-b\left(1-a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}1-a=0\\1-b=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}}}\)
TH1: a=1=> b^2010 =b^2011 =>\(\orbr{\begin{cases}b=1\\b=0\end{cases}}\)=> b=1 vì b>0
=> a^2013 +b^2013=2
TH2: b=1 => a^2010 +a^2011=>\(\orbr{\begin{cases}a=1\\a=0\end{cases}}\)=> a=1 vì a>0
=> a^2013 +b^2013 =2
Vậy a^2013 +b^2013 =2
Bạn áp dụng công thức tổng quát : \(a_1^3+a_2^3+...+a_n^3=\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2\)
(1) => 2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz=0
<=> (x2-2xy+y2) + (x2-2xz+z2) + (y2-2yz+z2)=0
<=> (z-y)2 + (x-z)2 + (y-z)2 = 0
<=> x=y=z
(2) => x2002 + x2002 + x2002 = 32003
<=> 3x2002 = 32003
x=y=z=3
Ta thành lập một biểu thức có dạng như sau:
\(\left(a^{2015}+b^{2015}\right)\left(a+b\right)-\left(a^{2014}+b^{2014}\right)ab=a^{2016}+b^{2016}\) \(\left(1\right)\)
Mà \(a^{2014}+b^{2014}=a^{2015}+b^{2015}=a^{2016}+b^{2016}\) (theo gt)
nên từ \(\left(1\right)\) suy ra \(\left(a^{2016}+b^{2016}\right)\left(a+b\right)-\left(a^{2016}+b^{2016}\right)ab=a^{2016}+b^{2016}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(a^{2016}+b^{2016}\right)\left(a+b-ab\right)=a^{2016}+b^{2016}\)
\(\Leftrightarrow\) \(a+b-ab=1\) (do \(a^{2016}+b^{2016}\ne0\))
\(\Leftrightarrow\) \(\left(1-a\right)\left(b-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\orbr{\begin{cases}1-a=0\\b-1=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\orbr{\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}}\)
Với \(a=1\) thì ta dễ dàng suy ra \(b=1\)
Tương tự với \(b=1\)
Vậy, \(\left(x,y\right)=\left(1,1\right)\)
Ta có: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 = 1 (*)
=> a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = a2 + b2 + c2
=> ab + bc + ca = 0 (1)
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 = 1
=> a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) = a3 + b3 + c3
=> 3(a + b)(b + c)(c + a) = 0
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=0\\b+c=0\\c+a=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-b\\b=-c\\c=-a\end{matrix}\right.\)
+) a = -b, thay vào (1) ta được: -b2 + bc - bc = 0
=> -b2 = 0 => b = 0 = a
Thay vào (*) => c = 1
Tương tự cho 2 trường hợp còn lại
Như vậy trong 3 số a;b;c luôn có 2 số = 0; 1 số = 1
=> P = a1998 + b1999 + c2000 = 1
Ta có: \(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Hay \(1=1+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=0\\b+c=0\\c+a=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-b\\b=-c\\c=-a\end{matrix}\right.\)
Nếu a=-b thì P=c^200
tương tự cho các trường hợp còn lại
Ta có:
\(a^{2006}+a^{2008}+b^{2006}+b^{2008}\ge2\left(a^{2007}+b^{2007}\right)\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=1\)
\(\Rightarrow S=a^{2009}+b^{2009}=2\)