Cho a,b dương: a;b>0, a+b<=1 Tính GTNN:\(S=\dfrac{1}{a^3+b^3}+\dfrac{1}{a^2b}+\dfr...

\(S=\dfrac{1}{a^3+b^3}+\dfrac{1}{a^2b}+\dfr...">

K

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Mua vip

MN

Mỹ Ninh

10 tháng 12 2020

Cho a,b dương: a;b>0, a+b<=1

Tính GTNN:\(S=\dfrac{1}{a^3+b^3}+\dfrac{1}{a^2b}+\dfrac{1}{ab^2}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

17 tháng 5 2023

Mở ảnh

Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên

LD

Lữ Diễm My

13 tháng 7 2018

Chứng minh : a) \(\dfrac{3x}{2y}+\dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{3}{5}}-\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{3\sqrt{x}}{2}.\left(\dfrac{\sqrt{x}}{y}+\sqrt{\dfrac{3}{5x}}-\sqrt{\dfrac{1}{3}}\right)\) b)\(ab.\sqrt{1+\dfrac{1}{a^2b^2}}-\sqrt{a^2b^2+1}=0\) , với a ; b > 0 c) \(\left(\dfrac{3}{a}\sqrt{\dfrac{a^3}{b}}-\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{4}{ab}}-2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\right):\sqrt{\dfrac{1}{ab}}=3a-2b-1\) với a, b...

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

1

DD

Duy Đỗ Ngọc Tuấn

13 tháng 7 2018

b)CM: \(ab\sqrt{1+\dfrac{1}{a^2b^2}}-\sqrt{a^2b^2+1}=0\)

\(VT=ab\sqrt{\dfrac{a^2b^2+1}{\left(ab\right)^2}}-\sqrt{a^2b^2+1}\)

\(VT=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{ab}-\sqrt{a^2b^2+1}\)

\(VT=\sqrt{a^2b^2+1}-\sqrt{a^2b^2+1}\)

\(VT=0=VP\)

HM

Hồ Minh Phi

9 tháng 12 2018

Cho a,b,c > 0. Tìm GTNN: a, \(A=\dfrac{a^2}{2b+5c}+\dfrac{b^2}{2c+5a}+\dfrac{c^2}{2a+5b}\) với abc = 8 b, \(B=\dfrac{b+c}{a^2}+\dfrac{c+a}{b^2}+\dfrac{a+b}{c^2}\) với abc = 1 c, \(C=\dfrac{a+bc}{b+c}+\dfrac{b+ca}{c+a}+\dfrac{c+ab}{a+b}\) với a + b + c = 1 d, \(D=\dfrac{a^3}{2b+3c}+\dfrac{b^3}{2c+3a}+\dfrac{c^3}{2a+3b}\) với...

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

0

GH

Gia Hân Ngô

4 tháng 10 2018

Cho a,b,c \(\in\) R; 0 < a,b,c < 1 và ab + bc + ca = 1

Tìm GTNN: \(A=\dfrac{a^2\left(1-2b\right)}{b}+\dfrac{b^2\left(1-2c\right)}{c}+\dfrac{c^2\left(1-2a\right)}{a}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

0

LN

Lệ Ngân

9 tháng 6 2018

Cho a>0, b>0 và a+b<=1

Tìm GTNN của biểu thức \(S=\dfrac{a}{1+b}+\dfrac{b}{1+a}+\dfrac{1}{a+b}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

2

MS

Mashiro Shiina

9 tháng 6 2018

Làm lại :v

\(\dfrac{a}{1+b}+\dfrac{b}{1+a}+\dfrac{1}{a+b}\)

\(\ge\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{b}{2a+b}+\dfrac{1}{a+b}\)

\(=\dfrac{a^2}{a^2+2ab}+\dfrac{b^2}{2ab+b^2}+\dfrac{1}{a+b}\)

\(\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2+2ab}+\dfrac{1}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2+\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}}+\dfrac{1}{a+b}\)

\(=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\dfrac{3}{2}\left(a+b\right)^2}+\dfrac{1}{a+b}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{a+b}\ge\dfrac{2}{3}+1=\dfrac{5}{3}\)

\("="\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)

MS

Mashiro Shiina

9 tháng 6 2018

Thật ra bài này t đã làm rồi,mà méo rảnh đi mò link,bạn rảnh thì có thể tìm nhé

VP

Vũ Phương Linh

14 tháng 12 2018

Câu 1: cho x, y, z > 0 thỏa mãn x+2y+3z>=20

tìm GTNN của \(P=x+y+z+\dfrac{3}{x}+\dfrac{9}{2y}+\dfrac{4}{z}\)

Câu 2: cho a, b > 0 và ab+4<=2b

tìm GTLN của \(P=\dfrac{ab}{a^2+2b^2}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

14 tháng 12 2018

Câu 1:

\(P=\dfrac{x}{4}+\dfrac{3x}{4}+\dfrac{2y}{4}+\dfrac{2y}{4}+\dfrac{3z}{4}+\dfrac{z}{4}+\dfrac{3}{x}+\dfrac{9}{2y}+\dfrac{4}{z}\)

\(P=\dfrac{1}{4}\left(x+2y+3z\right)+\left(\dfrac{3x}{4}+\dfrac{3}{x}\right)+\left(\dfrac{2y}{4}+\dfrac{9}{2y}\right)+\left(\dfrac{z}{4}+\dfrac{4}{z}\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{20}{4}+2\sqrt{\dfrac{3x}{4}.\dfrac{3}{x}}+2\sqrt{\dfrac{2y}{4}.\dfrac{9}{2y}}+2\sqrt{\dfrac{z}{4}.\dfrac{4}{z}}=5+3+3+2=13\)

\(\Rightarrow P_{min}=13\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y+3z=20\\\dfrac{3x}{4}=\dfrac{3}{x}\\\dfrac{2y}{4}=\dfrac{9}{2y}\\\dfrac{z}{4}=\dfrac{4}{z}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=3\\z=4\end{matrix}\right.\)

Câu 2:

Ta có

\(ab+4\ge2\sqrt{4ab}=4\sqrt{ab}\Rightarrow2b\ge4\sqrt{ab}\Rightarrow\sqrt{\dfrac{b}{a}}\ge2\Rightarrow\dfrac{b}{a}\ge4\)

\(P=\dfrac{ab}{a^2+2b^2}=\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}+\dfrac{2b}{a}}=\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{16a}+\dfrac{31b}{16a}}\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{16a}}+\dfrac{31}{16}.\dfrac{b}{a}}\le\dfrac{1}{2.\dfrac{1}{4}+\dfrac{31}{16}.4}=\dfrac{4}{33}\)

\(\Rightarrow P_{max}=\dfrac{4}{33}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}b=4a\\ab+4=2b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=4\end{matrix}\right.\)

NN

Nguyễn Ngọc Bảo Quang

4 tháng 7 2019

Cho mình hỏi câu 1 vì sao bạn lại phân tích được \(2\sqrt{...}\), ....

DT

Đinh Trần Tiến

22 tháng 5 2017

bài 38 :rút gọn các biểu thức a)2ab\(\sqrt{\dfrac{225}{a^2b^4}}\)(với a<0,b\(\ne\)0) b)\(\sqrt{\dfrac{20\left(a-1\right)^2}{45}}\)(với a<1) c)\(\sqrt{\dfrac{9a^2-6a+1}{b^2}}\)(với b>0,a>\(\dfrac{1}{3}\)) d)\(\left(a-2\right).\sqrt{\dfrac{a^2}{a^2-4a+4}}\) (với...

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

19 tháng 5 2022

a: \(=2ab\cdot\dfrac{-15}{b^2a}=\dfrac{-30}{b}\)

b: \(=\dfrac{2}{3}\cdot\left(1-a\right)=\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}a\)

c: \(=\dfrac{\left|3a-1\right|}{\left|b\right|}=\dfrac{3a-1}{b}\)

d: \(=\left(a-2\right)\cdot\dfrac{a}{-\left(a-2\right)}=-a\)

NH

Nguyễn Hải An

29 tháng 5 2018

1, Cho a,b,c là số thực dương và abc =1 . CMR : \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}\)+ \(\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}\) + \(\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}\) \(\ge\)\(\dfrac{3}{2}\) 2, Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca = abc CM : \(\dfrac{1}{a+2b+3c}\)+ \(\dfrac{1}{2a+3b+c}\) + \(\dfrac{1}{3a+b+2c}\)<...

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

3

AH

Akai Haruma

Giáo viên

5 tháng 8 2018

Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{a(b+c)}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{a^3(b+c)}.\frac{a(b+c)}{4}}=2\sqrt{\frac{1}{4a^2}}=\frac{1}{a}=\frac{abc}{a}=bc\)

Tương tự:

\(\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{b(c+a)}{4}\geq \frac{1}{b}=ac\)

\(\frac{1}{c^3(a+b)}+\frac{c(a+b)}{4}\geq \frac{1}{c}=ab\)

Cộng theo vế:

\(\Rightarrow \text{VT}+\frac{ab+bc+ac}{2}\geq ab+bc+ac\)

\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{ab+bc+ac}{2}\)

Tiếp tục áp dụng AM-GM: \(ab+bc+ac\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3\)

\(\Rightarrow \text{VT}\ge \frac{3}{2}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

AH

Akai Haruma

Giáo viên

5 tháng 8 2018

Lời giải:

Đặt vế trái là $A$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)(a+b+b+c+c+c)\geq (1+1+1+1+1+1)^2\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\geq \frac{36}{a+2b+3c}\)

Hoàn toàn TT:

\(\frac{1}{b}+\frac{2}{c}+\frac{3}{a}\geq \frac{36}{b+2c+3a}\)

\(\frac{1}{c}+\frac{2}{a}+\frac{3}{b}\geq \frac{36}{c+2a+3b}\)

Cộng theo vế:

\(\Rightarrow 6\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq 36A\)

\(\Rightarrow A\leq \frac{1}{6}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Theo đkđb: \(ab+bc+ac=abc\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)

Do đó: \(A\leq \frac{1}{6}< \frac{3}{16}\) (đpcm)

NM

Nguyễn Mary

10 tháng 7 2018

Bài 1 : cho x, y >0 và x2+y2=1. Tìm GTNN của \(P=\left(1+x\right)\cdot\left(1+\dfrac{1}{y}\right)+\left(1+y\right)\cdot\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\) Bài 2 : cho a, b, c > 0. CMR \(\dfrac{1}{a+3b}+\dfrac{1}{b+3c}+\dfrac{1}{c+3a}>=\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{2b+a+c}+\dfrac{1}{2c+a+b}\) Bài 3 : cho a, b, c, d >0. ...

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

3

AH

Akai Haruma

Giáo viên

10 tháng 7 2018

Bài 1:

\(P=(x+1)\left(1+\frac{1}{y}\right)+(y+1)\left(1+\frac{1}{x}\right)\)

\(=2+x+y+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2\)

\(x+\frac{1}{2x}\geq 2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\)

\(y+\frac{1}{2y}\geq 2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\)

Áp dụng BĐT SVac-xơ kết hợp với Cô-si:

\(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}\geq \frac{4}{2x+2y}=\frac{2}{x+y}\geq \frac{2}{\sqrt{2(x^2+y^2)}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)

Cộng các BĐT trên :

\(\Rightarrow P\geq 2+2+\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{2}=4+3\sqrt{2}\)

Vậy \(P_{\min}=4+3\sqrt{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

AH

Akai Haruma

Giáo viên

10 tháng 7 2018

Bài 2:

Áp dụng BĐT Svac-xơ:

\(\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+a+2c}\geq \frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}\)

\(\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{b+c+2a}\geq \frac{4}{2b+4c+2a}=\frac{2}{b+2c+a}\)

\(\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{c+a+2b}\geq \frac{4}{2c+4a+2b}=\frac{2}{c+2a+b}\)

Cộng theo vế và rút gọn :

\(\Rightarrow \frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2b+c+a}+\frac{1}{2c+a+b}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

PT

༺ ๖ۣۜPhạm ✌Tuấn ✌Kiệτ ༻

6 tháng 1 2018

Cho a, b, c > 0 thoa man a + b + c = 3.

Tim GTNN : \(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

1

NH

Nguyễn Hải Đăng

6 tháng 1 2018

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\(VT=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{ab+bc+ac}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)

\(=\dfrac{9}{ab+bc+ac}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)

\(=\dfrac{1}{ab+bc+ac}+\dfrac{1}{ab+bc+ac}+\dfrac{7}{ab+bc+ac}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{ab+bc+ac+ab+bc+ac+a^2+b^2+c^2}+\dfrac{7}{ab+bc+ac}\)

\(=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{7}{ab+bc+ac}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương:

\(ab+bc+ac\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{1^2}{3}=\dfrac{1}{3}\)

Ta có: \(\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{7}{ab+bc+ac}\ge\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{7}{\dfrac{1}{3}}=9+21=30\)