Cho a,b ,c thỏa mãn a+b+c = 3 a. a3 + b3 + c3 \(\ge\)...

\(\ge\)...">

K

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Mua vip

HX

hữu xuan

15 tháng 1 2020

Cho a,b ,c thỏa mãn a+b+c = 3

a. a³+ b³ + c^{3 \(\ge\)}a²+ b²+ c²

b. a⁴+b⁴ +c⁴ \(\ge\) a³ +b³+c³

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10

1

BA

B.Thị Anh Thơ

15 tháng 1 2020

https://i.imgur.com/wue3Yuy.png

Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên

CX

Chu Xuân Tùng

24 tháng 1 2020

Cho a, b, c > 0. Chứng minh: (a³ + b³ + c³)(\(\frac{1}{a}\) + \(\frac{1}{b}\) + \(\frac{1}{c}\)) ≥ (a + b + c)²

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10

1

NT

Nguyễn Thành Trương

24 tháng 1 2020

Hỏi đáp Toán

CT

Cao Tiến Đạt

15 tháng 9 2019

cho a,b,c ≥ 0 thỏa mãn a² + b² + c² = 3

C/m a + b + c ≥\(\sqrt{3}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10

1

TN

Trung Nguyen

15 tháng 9 2019

\(GT\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=3+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3}\)Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\) 2 số =0, 1 số =\(\sqrt{3}\)

MH

Minh Hiếu Tô

20 tháng 7 2018

a²+b²+c²+\(\dfrac{3}{4}\) ≥ a+b+c

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10

3

MS

Mashiro Shiina

20 tháng 7 2018

\(a^2+\dfrac{1}{4}\ge a\)

\(b^2+\dfrac{1}{4}\ge b\)

\(c^2+\dfrac{1}{4}\ge c\)

Cộng theo vế suy ra đpcm

ND

Nhã Doanh

20 tháng 7 2018

Xét hiệu:

\(a^2+b^2+c^2+\dfrac{3}{4}-a-b-c\)

\(=a^2+b^2+c^2+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-a-b-c\)

\(=\left(a^2-a+\dfrac{1}{4}\right)+\left(b^2-b+\dfrac{1}{4}\right)+\left(c^2-c+\dfrac{1}{4}\right)\)

\(=\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(c-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\) ( luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)

NT

Nguyễn Trần

30 tháng 11 2018

Cho a+b+c=3 (a,b,c > 0) CMR: a²+b²+c²+abc\(\ge\)4

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

1 tháng 12 2018

Lời giải:

Theo BĐT Schur bậc 3:

\(abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(3-2a)(3-2b)(3-2c)\)

\(\Leftrightarrow abc\geq 27+12(ab+bc+ac)-18(a+b+c)-8abc=-27+12(ab+bc+ac)-8abc\)

\(\Rightarrow 9abc\geq 12(ab+bc+ac)-27\Rightarrow abc\geq \frac{4}{3}(ab+bc+ac)-3\)

Do đó:

\(a^2+b^2+c^2+abc\geq a^2+b^2+c^2+\frac{4}{3}(ab+bc+ac)-3\)

\(=(a+b+c)^2-\frac{2}{3}(ab+bc+ac)-3=6-\frac{2}{3}(ab+bc+ac)\)

Mặt khác theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:
\(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc\geq 6-\frac{2}{3}(ab+bc+ac)\geq 6-\frac{2}{3}.3=4\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

AH

Akai Haruma

Giáo viên

1 tháng 12 2018

Nếu bạn không được sử dụng thẳng BĐT Schur bậc 3 thì có thể CM nó thông qua BĐT AM-GM ngược dấu.

TP

Trường Phạm

10 tháng 1 2019

Chứng minh : 1. a4 + b4 - 4ab +2 \(\ge0\) ( \(\forall a,b\) ) 2. 2(a4+1) + (b2 + 1)2 \(\ge2\left(ab+1\right)^2\) ( \(\forall a,b\) ) 3. (a2+b2)\(\times\)(c2+d2)\(\ge\left(ac+bd\right)^2\) ( \(\forall a,b,c,d\)...

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

30 tháng 12 2022

3: =>a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2>=a^2c^2+2abcd+b^2d^2

=>a^2d^2-2abcd+b^2c^2>=0

=>(ad-bc)^2>=0(luôn đúng)

TV

Tuấn Vũ Ngọc

8 tháng 10 2020 - olm

cho phương trình x⁴+ax³+bx²+cx+1=0(x là ẩn và \(a,b,c\in R\)), giả sử phương trình có nghiệm thực. Chứng minh rằng a²+b²+c²\(\ge\frac{4}{3}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10

1

DN

Đặng Ngọc Quỳnh

8 tháng 10 2020

Từ pt ta có: \(-\left(1+x^4\right)=\text{ax}^3+bx^2+cx\)

Áp dụng BĐT B.C.S:

\(\left(1+x^4\right)^2=\left(\text{ax}^3+bx^2+cx\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^6+x^4+x^2\right)\)\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\frac{\left(1+x^4\right)^2}{x^6+x^4+x^2}\left(1\right)\)

Mặt khác: \(\frac{\left(1+x^4\right)^2}{x^6+x^4+x^2}\ge\frac{4}{3}\left(2\right)\)

Thật vậy: \(\left(2\right)\Leftrightarrow3\left(1+2x^4+x^8\right)\ge4\left(x^6+x^4+x^2\right)\)

\(\Leftrightarrow3x^8-4x^6+2x^4-4x^2+3\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)^2\left(3x^4+2x^2+3\right)\ge0\)(luôn đúng)

Từ 1 và 2 : \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{4}{3}\)

Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(\orbr{\begin{cases}a=b=c=\frac{2}{3}\left(x=1\right)\\a=b=c=\frac{-2}{3}\left(x=-1\right)\end{cases}}\)

MM

Mộc Miên

3 tháng 3 2020

bài 1:chứng minh cac bất phương trình sau:

1) 2xyz≤x²+y²z² , (∀x,y,z)

2) x⁴+y⁴≥x³y+xy³ , (∀x,y)

3) a+b≤\(\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\) , (∀a,b≥0)

4) 2a(b+c)≤2a²+b²+c² , (∀a,b)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10

0

DN

Dương Nhật Hoàng

11 tháng 6 2017

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. CMR:

4(a² + b² + c²) - (a³ + b³ + c³) \(\ge9\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

6 tháng 7 2017

Lời giải:

Ta có:

\(\text{VT}=a^2+b^2+c^2+(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(a^3+b^3+c^3)\)

\(\Leftrightarrow \text{VT}=a^2+b^2+c^2+ab(a+b)+bc(b+c)+ac(c+a)\)

\(\Leftrightarrow \text{VT}=a^2+b^2+c^2+(a+b+c)(ab+bc+ac)-3abc\)

\(\Leftrightarrow \text{VT}=(a+b+c)^2+(ab+bc+ac)-3abc\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(3(ab+bc+ac)=(a=b+c)(ab+bc+ac)\geq 9abc\Rightarrow ab+bc+ac\geq 3abc\)

Do đó \(\text{VT}\geq (a+b+c)^2=9\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)

VH

Võ Huỳnh Minh Chương

29 tháng 5 2017

1/ Cho 2 số a,b thõa: a+b=2. CMR: a2+b2 \(\ge\) 2 2/ Cho 3 số a,b,c thõa: ab+bc+ca= 12. Tìm GTLN của P= a2+b2+c2 3 Cho 2 số dương a,b thỏa a+b \(\le\)2. Tìm GTNN của P= \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\) 4/ Cho 3 số dương a,b,c thõa a+b+c =3 . CMR:...

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10

4

NH

Nguyễn Huy Tú

29 tháng 5 2017

Bài 4:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-shwarz dạng engel ta có:

\(\dfrac{1}{a^2+2bc}+\dfrac{1}{b^2+2ca}+\dfrac{1}{c^2+2ab}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)

\(=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{9}{9}=1\)

Dấu " = " xảy ra khi a = b = c = 1

\(\Rightarrowđpcm\)

AH

Akai Haruma

Giáo viên

6 tháng 1 2020

Bài 1:
Ta có:
\(a^2+b^2-\frac{(a+b)^2}{2}=\frac{2(a^2+b^2)-(a+b)^2}{2}=\frac{(a-b)^2}{2}\geq 0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2\)

(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$