Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{1}{a^2b}+\frac{1}{ab^2}\ge\frac{1}{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}+\frac{4}{ab\left(a+b\right)}\)
\(\ge\left(\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ab}\right)+\frac{1}{ab}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+1+1\right)^2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{ab}\ge\frac{16}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}\ge16+4=20\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Ta có : \(a+\frac{1}{b}\le1\Leftrightarrow\frac{ab+1}{b}\le1\Rightarrow ab+1\le b\) ( vì a ; b > 0 )
Mặt khác : \(2\sqrt{ab}\le ab+1\) ( BĐT Cô - si )
Suy ra : \(b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\sqrt{b}\ge2\sqrt{a}\Leftrightarrow\frac{b}{a}\ge4\)
Đặt b/a = t ( t >= 4 ) , ta có : \(A=\frac{1}{t}+t=\frac{1}{t}+\frac{t}{16}+\frac{15}{16}t\)
Đến đây bn làm nốt
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\le\frac{1}{4}\)
Và \(P=a^2+b^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\)
\(=a^2+\frac{1}{16a^2}+b^2+\frac{1}{16b^2}+15\left(\frac{1}{16a^2}+\frac{1}{16b^2}\right)\)
\(\ge2\sqrt{a^2\cdot\frac{1}{16a^2}}+2\sqrt{b^2\cdot\frac{1}{16b^2}}+15\cdot2\sqrt{\frac{1}{16a^2}\cdot\frac{1}{16b^2}}\)
\(=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+15\cdot2\cdot\frac{1}{16ab}\)\(\ge1+15\cdot2\cdot\frac{1}{16\cdot\frac{1}{4}}=\frac{17}{2}\)
Xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
\(P=\frac{1}{a^2+b^2+1}+\frac{1}{2ab}\)
\(P=\frac{1}{a^2+b^2+1}+\frac{\frac{1}{9}}{2ab}+\frac{4}{9ab}\)
\(\ge\frac{\left(1+\frac{1}{3}\right)^2}{a^2+b^2+1+2ab}+\frac{4}{9ab}\)
\(\ge\frac{\left(1+\frac{3}{4}\right)^2}{\left(a+b\right)^2+1}+\frac{16}{9\left(a+b\right)^2}\)
\(\ge\frac{\left(1+\frac{1}{3}\right)^2}{1+1}+\frac{16}{9}=\frac{8}{3}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
a) x4+x3+2x2+x+1=(x4+x3+x2)+(x2+x+1)=x2(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2+1)
b)a3+b3+c3-3abc=a3+3ab(a+b)+b3+c3 -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)((a+b)2-(a+b)c+c2)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-ab+c2-3ab)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c
a+b+c=x-y-z+z-x=o
đưa về như bài b
d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung
e)x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)=x2(y-z)-y2((y-z)+(x-y))+z2(x-y)
=x2(y-z)-y2(y-z)-y2(x-y)+z2(x-y)=(y-z)(x2-y2)-(x-y)(y2-z2)=(y-z)(x2-2y2+xy+xz+yz)
4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)
Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)
Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)
@Cool Kid:
Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)
Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(\frac{a}{1+b}+\frac{4}{9}.a\left(1+b\right)\ge2\sqrt{\frac{a.4.a.\left(1+b\right)}{\left(1+b\right)9}}=2\sqrt{\frac{4a^2}{3^2}}=\frac{4a}{3}\)
\(\frac{b}{1+a}+\frac{4}{9}.b\left(1+a\right)\ge2\sqrt{\frac{b.4.b.\left(1+a\right)}{\left(1+a\right)9}}=2\sqrt{\frac{2^2b^2}{3^2}}=\frac{4b}{3}\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được :
\(\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}+\frac{4}{9}.a\left(1+b\right)+\frac{4}{9}.b\left(1+a\right)\ge\frac{4a}{3}+\frac{4b}{3}\)
\(< =>\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}\ge\frac{4a}{3}-\frac{4}{9}\left(a+ab\right)-\frac{4}{9}\left(b+ab\right)+\frac{4b}{3}\)
\(< =>\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}\ge\frac{8a}{9}+\frac{8b}{9}-\frac{4}{9}ab-\frac{4}{9}ab\)
\(< =>S\ge\frac{1}{a+b}+\frac{8}{9}\left(a+b\right)-\frac{8}{9}ab=\left(\frac{1}{a+b}+a+b\right)-\frac{a+b+8ab}{9}\)
\(< =>S\ge2-\frac{a+b+8ab}{9}\)
Do \(4ab\le\left(a+b\right)^2\le1< =>a+b+8ab\le3\)
Khi đó ta được : \(S\ge2-\frac{3}{9}=2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}\).Đẳng thức xảy ra \(< =>a=b=\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của \(S=\frac{5}{3}\)đạt được khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Ta có : \(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}=6\)
Áp dụng BĐT :
\(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)ta có :
\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\left(1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta có :
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\sqrt{3}.\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\left(2\right)\)
Cộng theo vế (1) và (2) ta được :
\(6=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)\(+\sqrt{3}.\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\)
\(\Leftrightarrow P+\sqrt{3}.\sqrt{P}\ge6\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{P}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{P}+2\sqrt{3}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow P\ge3\)
Vậy \(P_{min}=3\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
\(P=a+a+\frac{1}{a^2}+b+b+\frac{1}{b^2}-\left(a+b\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức cối 3 số có:\(a+a+\frac{1}{a^2}\ge3\sqrt[3]{\frac{a.a.1}{a^2}}=3\Rightarrow P\ge3+3-1=5\)
nên min P=5 khi a=b=1/2