Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Ta có:
\(A+B=a\sqrt{a}+\sqrt{ab}+b\sqrt{b}+\sqrt{ab}\)
\(=(\sqrt{a})^3+(\sqrt{b})^3+2\sqrt{ab}\)
\(=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)+2\sqrt{ab}\)
\(=(\sqrt{a}+\sqrt{b})[(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-3\sqrt{ab}]+2\sqrt{ab}\)
Ta thấy \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\in\mathbb{Q}; \sqrt{ab}\in\mathbb{Q}\) nên:
\((\sqrt{a}+\sqrt{b})[(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-3\sqrt{ab}]\in\mathbb{Q}\) và \(2\sqrt{ab}\in\mathbb{Q}\)
Do đó: \(A+B\in\mathbb{Q}\)
Mặt khác:
\(AB=\sqrt{a}(a+\sqrt{b}).\sqrt{b}(b+\sqrt{a})\)
\(=\sqrt{ab}(a+\sqrt{b})(b+\sqrt{a})\)
\(=\sqrt{ab}(ab+a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+\sqrt{ab})\)
\(=\sqrt{ab}(A+B)\)
Do $A+B$ là số hữu tỉ (cmt) và $\sqrt{ab}$ cũng là số hữu tỉ, nên \(AB\) là số hữu tỉ.
Bác Akai Haruma làm nhầm đoạn cuối. Chắc do học nhiều nên mệt. Mình đại diện các bạn khác tiếp sức cho bác.
\(AB=\sqrt{ab}\left(a+\sqrt{b}\right)\left(b+\sqrt{a}\right)\)
\(=\sqrt{ab}\left(ab+a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+\sqrt{ab}\right)\)
\(=\sqrt{ab}\left(ab-\sqrt{ab}+a\sqrt{a}+\sqrt{ab}+b\sqrt{b}+\sqrt{ab}\right)\)
\(=\sqrt{ab}\left(ab-\sqrt{ab}+A+B\right)\)
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}A+B\in Q\\\sqrt{ab}\in Q\\ab\in Q\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow AB\in Q\)
a)ta có :x+y=a1\(\sqrt{2}\)+b1+a2\(\sqrt{2}\)+b2=(a1+a2)\(\sqrt{2}\)+b1+b2
mặt khác, ta lại có a1,a2,b1,b2 là những số hữu tỉ nên (a1+a2);(b1+b2) cũng là những số hữu tỉ
=>biểu thức x+y cũng được viết dưới dạng a\(\sqrt{2}\)+b với a,b là số hữu tỉ.
ta xét tích x.y=(a1\(\sqrt{2}\)+b1)(a2\(\sqrt{2}\)+b2)=2a1.a2+a1.b2\(\sqrt{2}\)+b1.a2.\(\sqrt{2}\)+b1.b2=(a1b2+b1a2)\(\sqrt{2}\)+(2a1a2+b1b2)
vì a1,a2,b1,b2 là những số hữu tỉ nên các tích a1a2;b1b2;a1b2;a2b1 là những số hữu tỉ nên x.y cững có dạng a\(\sqrt{2}\)+b với a,b là số hữu tỉ
b) xét thương \(\dfrac{x}{y}\)=\(\dfrac{a_1\sqrt{2}+b_1}{a_2\sqrt{2}+b_2}=\dfrac{\left(a_1\sqrt{2}+b_1\right)\left(a_2\sqrt{2}-b_2\right)}{\left(a_2\sqrt{2}+b_2\right)\left(a_2\sqrt{2}-b_2\right)}\)
=\(\dfrac{2a_1a_2-a_1b_2\sqrt{2}+a_2b_1\sqrt{2}-b_1b_2}{2a_2^2-b_2^2}\)=\(\dfrac{\left(a_2b_1-a_1b_2\right)\sqrt{2}}{2a_2^2-b_2^2}+\dfrac{2a_1a_2-b_1b_2}{2a_2^2-b_2^2}\)
vì a1,b1,a2,b2 là những số hữu tỉ nên a1b2;a1a2;b1b2;a2b1 cũng là những số hữu tỉ hay \(\dfrac{a_2b_1-a_1b_2}{2a_2^2-b_2^2};\dfrac{2a_1a_2-b_1b_2}{2a_2^2-b_2^2}\)cũng là những số hữu tỉ nên \(\dfrac{x}{y}\) cũng có dạng a\(\sqrt{2}\)+b với a và b là những số hữu tỉ
Ta có \(\Delta=b^2-4ac=\left(a+c\right)^2-4ac=\left(a-c\right)^2\)
\(\Rightarrow x_1=\frac{-b+a-c}{2a};x_2=\frac{-b-a+c}{2a}\in Q.\)
em tiểu học nên chẳng biết mà ít có người lớp 9 như chị
Ta có :
\(A+B=a\sqrt{a}+\sqrt{ab}+b\sqrt{b}+\sqrt{ab}\)
\(=a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+2\sqrt{ab}\)
\(=\)\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left[\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-3\sqrt{ab}\right]+2\sqrt{ab}\)
\(A.B=\sqrt{ab}\left(\sqrt{ab+1}\right)+\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left[\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-3\sqrt{ab}\right]\)
Đặt \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=x;\)\(\sqrt{ab}=y\)\(\left(x;y\in Q\right)\)thì :
\(A+B=x\left(x^2-3y\right)+2y\)
\(A.B=y\left(y+1\right)+xy\left(x^2-3y\right)\)
\(\Rightarrow\)Các đa thức này là các số hữa tỉ \(\left(đpcm\right)\)