CG
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
I
1
22 tháng 8 2019
+) a2+b2+c2\(\ge\)3
Đặt a-1 =x , b-1 =y,c-1=z
\(\Rightarrow\)x,y,z \(\in\)[-1;1] và x+y+z=0
pttt: (x+1)2+(y+1)2+(z+1)2\(\ge\)3
\(\Leftrightarrow\)....\(\Leftrightarrow\)x2+y2+z2+2(x+y+z)+3\(\ge\)3
\(\Leftrightarrow\)x2+y2+z2+3\(\ge\)3
\(\Leftrightarrow\)x2+y2+z2\(\ge\)0 (luôn đúng với mọi x,y,z)
+)a2+b2+c2\(\le\)5
Ta có a,b,c\(\in\)[0;2]\(\Rightarrow\)2-a\(\ge\)0 , 2-b\(\ge\)0 , 2-c\(\ge\)0
\(\Leftrightarrow\)(2-a)(2-b)(2-c)\(\ge\)0
\(\Leftrightarrow\)2ab+2ac+2bc\(\ge\)4(a+b+c)+abc-8
\(\Leftrightarrow\)2(ab+bc+ac)\(\ge\)12 + abc -8=4+abc (vì a+b+c=3)
Mà 4+abc\(\ge\)4 (vì a,b,c\(\in\)[0;2])
\(\Leftrightarrow\)2(ab+bc+ac)\(\ge\)4
\(\Leftrightarrow\)(a+b+c)2\(\ge\)4 +a2+b2+c2
mà a+b+c=3
\(\Leftrightarrow\)a2+b2+c2\(\le\)33-4=5
Dấu '=' xảy ra khi (a,b,c)=(0,1,2)và hoán vị vòng quanh
Vậy bdt được cm
LD
2
6 tháng 5 2018
từ giả thuyết suy ra : abc >0
có 2>a,c,b ->> (2-a)(2-b)(2-c)\(\ge\)0
\(\Leftrightarrow\)8+2(ab+ac+bc) -4(a+b+c)-abc \(\ge\)0
\(\Leftrightarrow\)8+2(ab+ac+bc)-4.3-abc \(\ge\)0
\(\Leftrightarrow\)2(ab+ac+bc) \(\ge\)4+abc \(\ge\)4 (1)
Cộng a2+b2+c2 vào (1)
2(ab+ac+bc)+a2+b2+c2\(\ge\)4+a2+b2+c2
(a+b+c)2-4\(\ge\)a2+b2+c2
thay a+b+c=3 vào
9-4\(\ge\)a2+b2+c2
5 \(\ge\)a2+b2+c2
a2+b2+c2 \(\le\)5
X
1
10 tháng 11 2019
Hướng dẫn:
\(a^3+b^3+c^3=\frac{a^3}{2}+\frac{a^3}{2}+\frac{1}{2}+\frac{b^3}{2}+\frac{b^3}{2}+\frac{1}{2}+\frac{c^3}{2}+\frac{c^3}{2}+\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\)
\(\ge\frac{3a^2}{2}+\frac{3b^2}{2}+\frac{3c^2}{2}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{3}{2}\) (Cauchy cho 3 số không âm )
=> \(3\ge\frac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{3}{2}\)
=> \(a^2+b^2+c^2\le3\).
Dấu "=" <=> a=b=c
\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\le a^2+b^2+c^2\le3\)
=> \(a+b+c\le3\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c.
23 tháng 4 2017
b) ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x+y\right)^2\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)
- Thay \(x^2+y^2=1\)
\(\Rightarrow\)\(2\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+y\right)^2}\le\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\left|x+y\right|\le\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)
23 tháng 4 2017
- Áp dụng bđt: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
có: \(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\) (1)
- Áp dụng tiếp bđt trên
có: \(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\ge a^2bc+ab^2c+c^2ab\) (2)
\(\Leftrightarrow\)\(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\ge abc\left(a+b+c\right)\) (3)
(1),(2),(3)\(\Rightarrow\) \(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
Ta có a3 + b3 = 2
=> (a + b)(a2 - ab + b2) = 2
Vì a2 - ab + b2 = \(\left(a^2-2.\frac{1}{2}a.b+\frac{1}{4}b^2\right)+\frac{3}{4}b^2=\left(a-\frac{1}{2}b\right)^2+\frac{3}{4}b^2\ge0\)
Khi \(\left(a-\frac{1}{2}b\right)^2+\frac{3}{4}b^2=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b=0\end{cases}}\)mà khi đó a3 + b3 = 0 \(\ne\)2
=> Không tồn tại a;b thỏa mãn sao cho \(\left(a-\frac{1}{2}b\right)^2+\frac{3}{4}b^2=0\)
=> \(a^2-ab+b^2>0\)
=> a + b \(\le\)2