\(a^2+b^2+\left(a-b\right)^2=c^2+d^2+\left(c-d\right)^2\).chung minh 
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

29 tháng 12 2018

a.

\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4\ge a^4+ab^3+a^3b+b^4\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge ab^3+a^3b\)

\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-ab^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(*)

\(a^2+ab+b^2=\left(a^2+2\cdot a\cdot\dfrac{1}{2}b+\dfrac{b^2}{4}\right)+\dfrac{3b^2}{4}=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\ge0\)

Suy ra (*) đúng => đpcm

Dấu "=" xảy ra khi a = b

29 tháng 12 2018

b.

\(3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

\(\Leftrightarrow3a^4+3b^4+3c^4\ge a^4+ab^3+ac^3+a^3b+b^4+bc^3+a^3c+b^3c+c^4\)

\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4+2c^4\ge ab^3+a^3b+b^3c+bc^3+ca^3+c^3a\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4+b^4\right)+\left(b^4+c^4\right)+\left(c^4+a^4\right)\ge\left(a^3b+ab^3\right)+\left(b^3c+bc^3\right)+\left(c^3a+ca^3\right)\)

Theo câu a. thì điều này đúng

Dấu "=" khi a=b=c

11 tháng 2 2019

Câu b search google bđt Min-cốp-xki thẳng tiến

4 tháng 2 2019

Chị ơi!

16 tháng 2 2020

a) Ta có: \(a^2+1\ge2a\)

Tường tự \(b^2+1\ge2b\)\(c^2+1\ge2c\)

Vì \(a^2+1\ge0\);\(b^2+1\ge0\);\(c^2+1\ge0\)nên ta:

Nhân vế theo vế của 3 bất đẳng thức cùng chiều ta được điều phải chứng minh

b) \(a^2+2^2\ge4a\)bạn làm tương tự như câu a) là ra nha!

27 tháng 3 2018

a)\(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2-a^2-b^2-c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

b,c tương tự

d)Áp dụng bđt AM-GM ta được

\(a^4+a^4+b^4+c^4\ge4\sqrt[4]{a^4a^4b^4c^4}=4a^2bc\)

TT\(\Rightarrow a^4+b^4+b^4+c^4\ge4ab^2c\)

\(a^4+b^4+c^4+c^4\ge4abc^2\)

Cộng vế theo vế ta được \(4\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge4\left(a^2bc+ab^2c+abc^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\left(đpcm\right)\)

27 tháng 3 2018

d)

\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4-a^2bc-ab^2c-abc^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4+2c^4-2a^2bc-2ab^2c-2abc^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+2a^2b^2+\left(b^2-c^2\right)^2+2b^2c^2+\left(c^2-a^2\right)^2+2a^2c^2-2a^2bc-2b^2ac-2c^2ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(b^2-c^2\right)^2+\left(c^2-a^2\right)^2+\left(a^2b^2+b^2c^2-2b^2ac\right)+\left(b^2c^2+c^2a^2-2c^2abc\right)+\left(a^2b^2+c^2a^2-2a^2ab\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(b^2-c^2\right)^2+\left(c^2-a^2\right)^2+\left(ab-bc\right)^2+\left(bc-ac\right)^2+\left(ab-ac\right)^2\ge0\)

Luôn đúng với mọi a , b , c