CD
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
SM
0
TT
2
MD
6 tháng 7 2017
Khá dễ!
Ta có: \(\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\le2\left(a^4+b^4\right)\)
<=> \(a^4+a^3b+ab^3+b^4\le a^4+b^4+a^4+b^4\)
<=> \(a^3b+ab^3\le a^4+b^4\)
<=> \(a^4-a^3b+b^4-ab^3\ge0\)
<=> \(a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
<=> \(\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)
<=> \(\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (Luôn đúng)
=> đpcm
PT
0
QD
1
18 tháng 6 2023
Ta có BDT luôn đúng \(\left(a-b\right)^2\ge0\) \(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\) \(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\). Do \(a^2+b^2\le2\) nên \(2\left(a^2+b^2\right)\le4\).
Do đó \(\left(a+b\right)^2\le4\) \(\Leftrightarrow-2\le a+b\le2\), suy ra đpcm. ĐTXR \(\Leftrightarrow a=b=1\)
3 tháng 4 2022
Bài 3:
\(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2\left(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\ge\dfrac{4}{xy}.x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2}{\left(x-y\right)^2}+x^2+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2}{\left(x-y\right)^2}+x^2-2xy+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}\right)^2+\left(x-y\right)^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}\right)^2-2xy+\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}-x+y\right)^2=0\) (luôn đúng)
23 tháng 4 2020
\(\forall\)a,b,c >0, 0<m<1 ta có:
\(\left(a-b\right)^2\le m\left(a-b\right)^2\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b
Áp dụng vào bài toán: a,b,c>0 và a+b+c=1
=> 0<a,b,c<1. Nên: a(a-b)2+b(b-c)2+c(c-a)2 =< (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2
=> a(a-b)2+b(b-c)2+c(c-a)2+6(ab+bc+ca) =< 2(a+b+c)2=2
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=\(\frac{1}{3}\)
vì a2 và b2 là 2 SCP nên chúng là STN
thử các trường hợp chỉ có 1 và 1 thỏa mãn => a và b đều = 1
=> a + b < 2(a + b)3 vì 2 < 16 (đpcm)