Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)
\(=\frac{a}{a^2+b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+b^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có: :
\(\frac{a}{a^2+b^2+c^2}+9a\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\sqrt{9a^2}=6a\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{b}{a^2+b^2+c^2}+9b\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge6b;\frac{c}{a^2+b^2+c^2}+9c\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge6c\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a^2+b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+b^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2+c^2}+9\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\ge6\left(a+b+c\right)\)
Theo BĐT Cauchy-Schwarz thì:
\(9\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\ge9\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\cdot\left(a+b+c\right)=3\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a^2+b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+b^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2+c^2}\ge6-3=3\)
Và \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge\frac{9}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=27\)
Khi đó nhìn vào \(\left(1\right)\) thấy \(P\ge27+3=30\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
nhầm lẫn 1 số chỗ nên giờ mới ra,mong bn thông cảm
ta có:
\(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}=\frac{1}{bc+b+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{bc+b+1}=1\)
đặt \(P=\frac{a}{\left(ab+a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ca+c+1\right)^2}\)
áp dụng bunhia ta có:
\(P\left(a+b+c\right)\ge\left(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\right)^2=1\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{a+b+c}\)
Lời giải:
Từ $abc=1$ suy ra tồn tại $x,y,z>0$ sao cho \((a,b,c)=\left(\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x}\right)\)
Bài toán chuyển về CMR:
\(A=\sqrt{\frac{yz}{xy+xz+2yz}}+\sqrt{\frac{xz}{xy+yz+2xz}}+\sqrt{\frac{xy}{2xy+yz+xz}}\leq \frac{3}{4}\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(\sqrt{\frac{yz}{xy+xz+2yz}}\leq \frac{yz}{xy+xz+2yz}+\frac{1}{4}\)
Thiết lập tương tự... \(\Rightarrow A\leq \frac{xy}{2xy+yz+xz}+\frac{yz}{xy+2yz+xz}+\frac{xz}{xy+yz+2xz}+\frac{3}{4}\) $(1)$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{\frac{xy+yz+xz}{3}}+\frac{1}{\frac{xy+yz+xz}{3}}+\frac{1}{\frac{xy+yz+xz}{3}}+\frac{1}{xy}\geq \frac{16}{2xy+yz+xz}\Rightarrow \frac{9xy}{xy+yz+xz}+1\geq \frac{16xy}{2xy+yz+xz}\)
Thiết lập tương tự với các phân thức còn lại và công theo vế:
\(\Rightarrow \frac{xy}{2xy+yz+xz}+\frac{yz}{xy+2yz+xz}+\frac{xz}{xy+yz+2xz}\leq \frac{12}{16}=\frac{3}{4}\) $(2)$
Từ \((1),(2)\Rightarrow A\leq \frac{3}{2} (\text{đpcm})\).
Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c=1$
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
Bài 2:
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{1}{d+1}=3\Leftrightarrow\frac{1}{a+1}=1-\frac{1}{b+1}+1-\frac{1}{c+1}+1-\frac{1}{d+1}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+1}=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}>0\)
Tương tự:
\(\frac{1}{b+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{cda}{\left(c+1\right)\left(d+1\right)\left(a+1\right)}}>0\);\(\frac{1}{c+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{dab}{\left(d+1\right)\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}>0\);
\(\frac{1}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}>0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+1}.\frac{1}{b+1}.\frac{1}{c+1}.\frac{1}{d+1}\ge3^4\sqrt[3]{\frac{\left(abcd\right)^3}{\left[\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)\right]^3}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge81\frac{abcd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow abcd\le\frac{1}{81}\)
Dấu "="xảy ra khi \(a=b=c=d?\). Không chắc lắm.
Sửa một chút:
Bài 2: Thay dấu "=" bởi lớn hơn hoặc bằng, không có gì cả (nãy nhìn nhầm)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+1}\ge1-\frac{1}{b+1}+1-\frac{1}{c+1}+1-\frac{1}{d+1}=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}>0\left(AM-GM\right)\)