W
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
26 tháng 8 2017
a)\(\left(ab+bc+ca\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)\(+2\left(ab^2c+abc^2+a^2bc\right)\)
=\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\)
=\(a^2b^2+b^{2^2}c^2+c^2a^2+2abc.0\)
=\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
b) \(a+b+c=0\)=>\(\left(a+b+c\right)^2=0\)
<=>\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+xa\right)=0\)
<=>\(a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)
=>\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=4\left(ab+bc+ca\right)^2\)
<=>\(a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)\(=4\left(ab+bc+ca\right)^2\)
Do \(\left(ab+bc+ca\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
=>\(a^4+b^4+c^4+2\left(ab+bc+ca\right)^2\)\(=4\left(ab+bc+ca\right)^2\)
=>\(a^4+b^4+c^4=2\left(ab+bc+ca\right)^2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 3 2019
Biến đổi tương đương:
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+ac+bc}\ge3\)
b/ \(VT=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+ac+bc}+\frac{ab+ac+bc}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{ab+ac+bc}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+ac+bc\right)}+2\sqrt{\frac{\left(a+b+c\right)^2\left(ab+ac+bc\right)}{9\left(ab+ac+bc\right)\left(a+b+c\right)^2}}\ge\frac{8.3}{9}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
24 tháng 3 2020
\(0\le a,b,c\le1\Rightarrow b\ge b^2;c\ge c^3\)
\(\Rightarrow a+b^2+c^3\le a+b+c\)
\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-b-a+ab\right)\left(1-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow1-\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca-abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca\le1-abc\le1\)
=> đpcm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 6 2020
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab^2c}{ac}}=2b\) ; \(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a\) ; \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c\)
Cộng vế với vế: \(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
TN
29 tháng 11 2016
1)Áp dụng Bđt Am-Gm \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2\)
2)Áp dụng Am-Gm \(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab;b^2+c^2\ge2bc;a^2+c^2\ge2ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
=>ĐPcm
3)(a+b+c)2\(\ge\)3(ab+bc+ca)
=>a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca\(\ge\)3ab+3bc+3ca
=>a2+b2+c2-ab-bc-ca\(\ge\)0
=>2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca\(\ge\)0
=>(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ac+a2)\(\ge\)0
=>(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2\(\ge\)0
4)đề đúng \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(\Rightarrow aa+bb+cc-ab-bc-ca\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca-ab-bc-ca\)
\(\Rightarrow\left(ab-ab\right)+\left(bc-bc\right)+\left(ca-ca\right)=0\)
\(\Rightarrow a=b=c\) (Đpcm)