
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.


\(5a^2+10b^2-6ab-4a+2b+3\)
\(=\left(a^2-6ab+9b^2\right)+\left(4a^2-4a+1\right)+\left(b^2+2b+1\right)+1\)
\(=\left(a-3b\right)^2+\left(2a-1\right)^2+\left(b+1\right)^2+1>0\left(đpcm\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số \(a,b\) không âm, ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) \(\left(1\right)\)
\(ab+1\ge2\sqrt{ab}\) \(\left(2\right)\)
Nhân \(\left(1\right)\) với \(\left(2\right)\) vế theo vế, ta được:
\(\left(a+b\right)\left(ab+1\right)\ge4ab\) \(\left(đpcm\right)\)
Dấu \(''=''\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b\) và \(ab=1\) \(\Leftrightarrow\) \(a=b=1\) (do \(a>0\) và \(b>0\), tức \(a,b\) dương)
Chú ý (không ghi): bài này có nhiều cách, bạn có thể tìm cách mới!

Ta có:
\(a^2+8.5b^2+34\ge4ab+2b+8a\)
\(\Leftrightarrow\) \(2a^2+17b^2-8ab-4b-16a+68\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-8ab+16b^2\right)+\left(a^2-16a+64\right)+\left(b^2-4b+4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-4b\right)^2+\left(a-8\right)^2+\left(b-2\right)^2\ge0\) (Đúng)
Vậy \(a^2+8.5b^2+34\ge4ab+2b+8a\) (Đpcm)

\(2a^2+17b^2-8ab-4b-16a+68\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-8ab+16b^2\right)+\left(a^2-16a+64\right)+\left(b^2-4b+4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-4b\right)^2+\left(a-8\right)^2+\left(b-2\right)^2\ge0\) (đúng)

\(a^4+b^4+2=a^4+b^4+1+1\ge4\sqrt[4]{a^{4\cdot}\cdot b^4\cdot1\cdot1}=4ab\left(đpcm\right)\)
Dấu ''='' xảy ra khi a = b
Áp dụng BĐT Cauchy cho 4 số không âm , ta có :
a4 + b4 + 1 + 1 ≥ \(4\sqrt[4]{a^4.b^4.1.1}=4ab\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b = 1

Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(9+ab\ge2\sqrt{9ab}=6\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow VT=a+b\ge\frac{2\sqrt{ab}\cdot6\sqrt{ab}}{9+ab}=\frac{12ab}{9+ab}=VP\)
Bài 2:
a)\(\frac{a^2}{a+2b^2}=a-\frac{2ab^2}{a+2b^2}\ge a-\frac{2ab^2}{3\sqrt[3]{ab^4}}=a-\frac{2}{3}\sqrt[3]{a^2b^2}\)
\(BDT\Leftrightarrow\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{b^2c^2}+\sqrt[3]{c^2a^2}\le3\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt[3]{b^2c^2}\le\frac{1}{3}\left(bc+b+c\right)\). Tương tự r` cộng theo vế ta có ĐPCM
b)\(\frac{a^2}{a+2b^3}=a-\frac{2ab^2}{a+2b^3}\ge a-\frac{2ab^3}{3\sqrt[3]{ab^6}}=a-\frac{2}{3}b\sqrt[3]{a^2}\)
\(\ge a-\frac{2}{3}b\frac{\left(a+a+1\right)}{3}=a-\frac{2b}{9}-\frac{4ab}{9}\)
Vậy \(VT\ge a+b+c-\frac{2}{9}\left(a+b+c\right)-\frac{4}{9}\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\ge\frac{7}{3}-\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{27}=1=VP\)

vì a>b nên ta có
2a > 2b (1)
3a > 3b (2)
=> 3a > 2b
và 2015>2015
=> 3a+2015>2b+2014
BĐT cần chứng minh \(\Leftrightarrow a^2-4ab+3\left(a^2+b^2\right)\ge2b^2\)(vì \(a^2+b^2=5\))
\(\Leftrightarrow a^2-4ab+3a^2+3b^2-2b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow4a^2-4ab+b^2\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(2a-b\right)^2\ge0\)(BĐT luôn đúng)
Vậy ta có đpcm.