Question

[Mr Ray]

Cho a₁,a₂,a₃,a₄ la cac so k am.Cmr \(a_1+a_2+a_3+a_4\ge4\sqrt[4]{a_1a_2a_3a_4}\) (BDT cosi cho 4 so k am)

Answer 1

[Trần Đức Thắng]

CM BĐT \(m^4+n^4+p^4+q^4\ge4mnpq\) ( Trong đó m,n,q,p > 0 )

ÁP dụng BĐT cô - si với hai số không âm ta có :

\(m^4+n^4\ge2\sqrt{m^4.n^4}=2m^2.n^2\) 

\(p^4+q^4\ge2p^2.q^2\)

=> \(m^4+n^4+p^4+q^4\ge2m^2n^2+2p^2q^2\)  (1)

\(m^2n^2+p^2q^2\ge2mnpq\)

=> \(2m^2n^2+2p^2q^2\ge4mnpq\)  (2)

Từ (1) và (2) => \(m^4+n^4+p^4+q^4\ge4mnpq\)

Áp dụng BĐT với \(m=\sqrt[4]{a1};n=\sqrt[4]{a2};p=\sqrt[4]{a3};q=\sqrt[4]{a4}\) ta có:

\(\left(\sqrt[4]{a1}\right)^4+\left(\sqrt[4]{a2}\right)^4+\left(\sqrt[4]{a3}\right)^4+\sqrt[4]{a4}\ge4\sqrt[4]{a1a2a3a4}\)

Hay \(a1+a2+a3+a4\ge4\sqrt[4]{a1a2a3a4}\)

=>ĐPCM