Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow T=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right|\)
\(=\left|3\overrightarrow{MG}\right|=3\left|\overrightarrow{MG}\right|\)
\(\Rightarrow T_{min}\) khi và chỉ khi \(MG_{min}\Rightarrow MG=0\) hay M trùng G
Theo công thức trọng tâm: \(\left\{{}\begin{matrix}x_M=\dfrac{2-1+6}{3}=\dfrac{7}{3}\\y_M=\dfrac{3-1+0}{3}=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(\dfrac{7}{3};\dfrac{2}{3}\right)\)
b.
Tương tự câu a, ta có \(T=3\left|\overrightarrow{MG}\right|\) đạt min khi MG đạt min
\(\Rightarrow\) M là hình chiếu vuông góc của G lên Ox
Mà \(G\left(\dfrac{7}{3};\dfrac{2}{3}\right)\Rightarrow M\left(\dfrac{7}{3};0\right)\)
c.
Do M thuộc Ox nên tọa độ có dạng: \(M\left(m;0\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(2-m;3\right)\\\overrightarrow{MB}=\left(-1-m;-1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{u}=\left(3m+6;7\right)\)
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{\left(3m+6\right)^2+7^2}\ge\sqrt{0+7^2}=7\)
Dấu "=" xảy ra khi \(3m+6=0\Rightarrow m=-2\)
\(\Rightarrow M\left(-2;0\right)\)
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, D là trung điểm BC
\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}\)
Đặt \(T=MB^2+MC^2-2MA^2\)
\(T=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)^2+\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}\right)^2-2\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)^2\)
\(=OB^2+OC^2-2OA^2+2\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OA}\right)\)
\(=2\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OA}\right)\)
\(=2\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)
\(=4\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{AD}\)
\(=4R.AD.cos\left(\overrightarrow{MO};\overrightarrow{AD}\right)\)
Do R và AD cố định \(\Rightarrow T_{min}\) khi \(cos\left(\overrightarrow{MO};\overrightarrow{AD}\right)\) đạt min
\(\Rightarrow cos\left(\overrightarrow{MO};\overrightarrow{AD}\right)=-1\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{MO}\) và \(\overrightarrow{AD}\) là 2 vecto ngược chiều
\(\Rightarrow\) M là giao điểm của đường thẳng d và đường tròn ngoại tiếp tam giác, với d đi qua O và song song AD sao cho A và M nằm về 2 phía so với đường thẳng BC
a: M(4;0) là trung điểm của AB
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=2\cdot4=8\\y_A+y_B=2\cdot0=0\end{matrix}\right.\)
N(5;2) là trung điểm của AC
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_C=2\cdot5=10\\y_A+y_C=2\cdot2=4\end{matrix}\right.\)
P(2;3) là trung điểm của BC
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_B+x_C=2\cdot2=4\\y_B+y_C=2\cdot3=6\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=8\\x_A+x_C=10\\x_B+x_C=4\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_B-x_C=8-10=-2\\x_B+x_C=4\\x_A+x_C=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_B=-2+4=2\\x_B+x_C=4\\x_A+x_C=10\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_B=\dfrac{2}{2}=1\\x_C=4-1=3\\x_A=10-3=7\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}y_A+y_B=0\\y_A+y_C=4\\y_B+y_C=6\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y_B-y_C=-4\\y_B+y_C=6\\y_A+y_B=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2y_B=2\\y_B+y_C=6\\y_A=-y_B\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y_B=1\\y_C=6-1=5\\y_A=-1\end{matrix}\right.\)
Vậy: A(7;-1);B(1;1); C(3;5)
b: A(7;-1); P(2;3)
\(AP=\sqrt{\left(2-7\right)^2+\left(3+1\right)^2}=\sqrt{\left(-5\right)^2+4^2}=\sqrt{41}\)
c: A(7;-1)
Tọa độ điểm đối xứng với A qua trục Ox là:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=x_A=7\\y=-y_A=1\end{matrix}\right.\)
Tọa độ điểm đối xứng với A qua trục Oy là:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=-x_A=-7\\y=y_A=-1\end{matrix}\right.\)
e: E thuộc Ox nên E(x;0)
N(5;2);P(2;3); E(x;0)
\(\overrightarrow{NP}=\left(-3;1\right);\overrightarrow{NE}=\left(x-5;-2\right)\)
Để N,P,E thẳng hàng thì \(\dfrac{x-5}{-3}=\dfrac{-2}{1}\)
=>x-5=6
=>x=11
Vậy: E(11;0)
\(\overrightarrow{AB}=\left(-6;-3\right)=-3\left(2;1\right)\Rightarrow\) đường thẳng AB nhận \(\left(2;1\right)\) là 1 vtcp
Phương trình tham số đường thẳng AB có dạng: \(\left\{{}\begin{matrix}x=5+2t\\y=4+t\end{matrix}\right.\)
Do M thuộc AB nên tọa độ M có dạng \(M\left(5+2t;4+t\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(-2t;-t\right)\\\overrightarrow{MC}=\left(-2-2t;-6-t\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\left(-2-4t;-6-2t\right)\)
Đặt \(T=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|=\sqrt{\left(-2-4t\right)^2+\left(-6-2t\right)^2}=\sqrt{20\left(t+1\right)^2+20}\ge\sqrt{20}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(t+1=0\Rightarrow t=-1\Rightarrow M\left(3;3\right)\)