Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử tất cả các số đã cho đều lẻ
=>Quy đồng, ta được:
\(A=\dfrac{\left(a_2\cdot a_3\cdot...\cdot a_{2022}\right)+\left(a_1\cdot a_3\cdot...\cdot a_{2021}\cdot a_{2022}\right)+...+\left(a_1\cdot a_2\cdot...\cdot a_{2021}\right)}{a_1\cdot a_2\cdot...\cdot a_{2022}}=1\)
Tử có 2022 số hạng, mẫu là số lẻ
=>A là số chẵn khác 1
=>Trái GT
=>Phải có ít nhất 1 số là số chẵn
xét B=-3/4+(3/4)^2-.......-(3/4)^n với n lẻ,n >=1
=>-3/4.B=(3/4)^2-(3/4)^3+.........+(3/4)...
trừ theo vế suy ra 7/4.B=-3/4-(3/4)^(n+1)
=>7B=-3-(3/4)^n
=>A=1+B=1-(3+(3/4)^n)/7
do <0(3/4)^n <1
suy ra 0< 3+(3/4)^n <7
suy ra (3+(3/4)^n)/7 ko là số nguyên
suy ra A ko nguyên
Ta có
\(A=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}\right)+\left(\frac{1}{15}+\frac{1}{16}\right)\)
Vì \(\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}< \frac{1}{6}.3=\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}< \frac{1}{9}.3=\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}< \frac{1}{12}.3=\frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{15}+\frac{1}{16}< \frac{1}{10}.2=\frac{1}{5}\)
=> \(S< 2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right)< 2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)=3\)
=> S<3 (1)
Lập luận tương tự ta có
\(S>2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)>2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)=2\)
=> S>2 (2)
Từ (1) và (2) ta có 2 < A < 3. Vậy A không phải là số tự nhiên.
Ta xét biểu thức:
\(A = \frac{1}{5^{2}} + \frac{2}{5^{3}} + \frac{3}{5^{4}} + \hdots + \frac{n}{5^{n + 1}} \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; n \in \mathbb{N}\)
Bước 1: Xét tổng vô hạn tương ứng
Ta xét tổng vô hạn:
\(S = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{5^{k + 1}}\)
Đặt \(S = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{5^{k + 1}}\), ta muốn tính giá trị này để ước lượng \(A\), vì rõ ràng:
\(A = \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{5^{k + 1}} < \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{5^{k + 1}} = S\)
Bước 2: Tính tổng vô hạn \(S\)
Ta đặt:
\(S = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{5^{k + 1}} = \frac{1}{5} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{5^{k}}\)
Giờ xét:
\(T = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{5^{k}}\)
Tổng này là tổng lũy thừa có công thức:
\(\sum_{k = 1}^{\infty} k x^{k} = \frac{x}{\left(\right. 1 - x \left.\right)^{2}} , \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; \mid x \mid < 1\)
Thay \(x = \frac{1}{5}\), ta có:
\(T = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{5^{k}} = \frac{\frac{1}{5}}{\left(\left(\right. 1 - \frac{1}{5} \left.\right)\right)^{2}} = \frac{\frac{1}{5}}{\left(\left(\right. \frac{4}{5} \left.\right)\right)^{2}} = \frac{1 / 5}{16 / 25} = \frac{1}{5} \cdot \frac{25}{16} = \frac{5}{16}\)
Do đó:
\(S = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{16} = \frac{1}{16}\)
Bước 3: So sánh với A
Vì:
\(A = \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{5^{k + 1}} < \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{5^{k + 1}} = \frac{1}{16}\)
Nên ta có:
\(\boxed{A < \frac{1}{16}}\)
✅ Kết luận: Với mọi \(n \in \mathbb{N}\), ta có:
\(A = \frac{1}{5^{2}} + \frac{2}{5^{3}} + \frac{3}{5^{4}} + \hdots + \frac{n}{5^{n + 1}} < \frac{1}{16}\)
Để chứng minh rằng \(A < \frac{1}{16}\), ta cần phân tích và tính giá trị của \(A\), nơi:
\(A = \frac{1}{5^{2}} + \frac{2}{5^{3}} + \frac{3}{5^{4}} + \hdots + \frac{n}{5^{n}} + 1\)
1. Biểu diễn \(A\) dưới dạng tổng
Biểu thức của \(A\) có thể viết lại như sau:
\(A = \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{k - 1}{5^{k}} + 1\)
Chúng ta sẽ tách phần tổng lại thành 2 phần:
\(A = 1 + \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{k}{5^{k}}\)
2. Tính tổng \(\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{k}{5^{k}}\)
Để tính tổng này, ta sử dụng một phương pháp dựa trên sự phát triển của chuỗi số học trong chuỗi lũy thừa.
Đầu tiên, xét chuỗi cơ bản sau:
\(S = \sum_{k = 1}^{\infty} x^{k} = \frac{x}{1 - x} \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; \mid x \mid < 1\)
Bước 1: Tính tổng của chuỗi số \(\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{5^{k}}\)
Áp dụng công thức chuỗi số học cho \(x = \frac{1}{5}\):
\(\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{5^{k}} = \frac{\frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{1}{4}\)
Bước 2: Tính tổng của chuỗi số \(\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{k}{5^{k}}\)
Sử dụng công thức chuỗi tổng quát và tính tổng khi có một hệ số \(k\) trong tử số:
\(\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{k}{5^{k}} = \frac{1}{4}\)
A=1/2^2+1/3^2+...+1/2022^2<1-1/2+1/2-1/3+...+1/2021-1/2022<1
mà A>0
nên 0<A<1
=>A ko là số tự nhiên