Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{2021^2}< 1\)
\(A=\dfrac{1}{\left(2+3+4+...+2021\right)^2}< 1\)
\(A=\dfrac{1}{\left(2021-2+1\right)^2}< 1\)
\(A=\dfrac{1}{\left(2020\right)^2}< 1\)
\(A=\dfrac{1}{2020\cdot2020}< 1\)
\(A=\dfrac{1}{2020}< 1\)
làm vào bài đừng có dùng ngoặc kép như tui nha,tui làm minh họa cho bạn hiểu
a>
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{100^2}\)=1/4+1/10000
ta có 1/4<1/2(vì 2 đề bài muốn chứng minh tổng đó nhỏ 1 thì chúng ta phải xét xem có bao nhiêu lũy thừa hoặc sht thì ta sẽ lấy 1 : cho số số hạng )
1/100^2<1/2
=>A<1
Lời giải:
Đặt $A=1-2+2^2-2^3+2^4-2^5+2^6-....-2^{2021}+2^{2022}$
$A=1+(-2+2^2-2^3)+(2^4-2^5+2^6)+(-2^7+2^8-2^9)+...+(2^{2020}-2^{2021}+2^{2022})$
$A=1+(-2+2^2-2^3)+2^3(2-2^2+2^3)+2^6(-2+2^2-2^3)+....+2^{2019}(2-2^2+2^3)$
$=1+(-6)+2^3.6+2^6(-6)+....+2^{2019}.6$
$=1+6(-1+2^3-2^6+...+2^{2019})$
Suy ra $A$ chia $6$ dư $1$/
a: B=1-1/2+1/2-1/3+...+1/2020-1/2021
=1-1/2021=2020/2021
b:
1/2^2+1/3^2+...+1/2021^2>0
=>A>1
1/2^2+1/3^2+...+1/2021^2<1-1/2+1/2-1/3+...+1/2020-1/2021=2020/2021
=>A<2020/2021+1
mà A>1
nên 1<A<1+2020/2021
=>A ko là số nguyên
Ta có: \(\frac{2022}{2021^2+k}\le\frac{2022}{2021^2}\) (với \(k\)là số tự nhiên bất kì)
Ta có:
\(A=\frac{2022}{2021^2+1}+\frac{2022}{2021^2+2}+...+\frac{2022}{2021^2+2021}\)
\(\le\frac{2022}{2021^2}+\frac{2022}{2021^2}+...+\frac{2022}{2021^2}=\frac{2022}{2021^2}.2021=\frac{2022}{2021}\)
Ta có: \(\frac{2022}{2021^2+k}>\frac{2022}{2021^2+2021}=\frac{2022}{2021.2022}=\frac{1}{2021}\)với \(k\)tự nhiên, \(k< 2021\))
Suy ra \(A=\frac{2022}{2021^2+1}+\frac{2022}{2021^2+2}+...+\frac{2022}{2021^2+2021}\)
\(>\frac{1}{2021}+\frac{1}{2021}+...+\frac{1}{2021}=\frac{2021}{2021}=1\)
Suy ra \(1< A\le\frac{2022}{2021}\)do đó \(A\)không phải là số tự nhiên.
\(A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{100^2}< 1\)
Đặt \(S=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{99.100}\)
Ta có:
\(S=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)
\(S=1-\dfrac{1}{100}\)
\(S=\dfrac{99}{100}\)
mà
\(\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{1.2}\)
\(\dfrac{1}{3^2}< \dfrac{1}{3.2}\)
\(\dfrac{1}{4^2}< \dfrac{1}{3.4}\)
...
\(\dfrac{1}{100^2}< \dfrac{1}{99.100}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{100^2}< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{99.100}\)
\(\Rightarrow A< S\)
\(=>A=\dfrac{99}{100}\)
\(=>A< 1\left(đpcm\right)\)