Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ \(\overrightarrow{AB}=\left(4;8\right)\Rightarrow\) đường thẳng AB có 1 vtpt là \(\left(2;-1\right)\)
Phương trình AB:
\(2\left(x-3\right)-\left(y-4\right)=0\Leftrightarrow2x-y-2=0\)
A;P;B thẳng hàng \(\Rightarrow P\in AB\Rightarrow P\left(x;2x-2\right)\)
\(\overrightarrow{AP}=\left(x+1;2x+2\right)\Rightarrow AP^2=\left(x+1\right)^2+\left(2x+2\right)^2=5\left(x+1\right)^2\)
\(\Rightarrow5\left(x+1\right)^2=\left(3\sqrt{5}\right)^2\Rightarrow\left(x+1\right)^2=9\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}P\left(2;2\right)\\P\left(-4;-10\right)\end{matrix}\right.\)
Gọi \(M\left(x;0\right)\)
b/ \(\overrightarrow{AM}=\left(x+1;4\right)\Rightarrow MA=\sqrt{\left(x+1\right)^2+4^2}\)
\(\overrightarrow{MB}=\left(3-x;4\right)\Rightarrow MB=\sqrt{\left(3-x\right)^2+4^2}\)
\(T=MA+MB=\sqrt{\left(x+1\right)^2+4^2}+\sqrt{\left(3-x\right)^2+4^2}\)
Áp dụng BĐT Mincopxki:
\(T\ge\sqrt{\left(x+1+3-x\right)^2+\left(4+4\right)^2}=4\sqrt{5}\)
\(T_{min}=4\sqrt{5}\) khi \(x+1=3-x\Rightarrow x=1\Rightarrow M\left(1;0\right)\)
c/ Tương tự như câu b:
\(MB+MC=\sqrt{\left(3-x\right)^2+4^2}+\sqrt{\left(x-2\right)^2+5^2}\)
\(MB+MC\ge\sqrt{\left(3-x+x-2\right)^2+\left(4+5\right)^2}=\sqrt{82}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{3-x}{4}=\frac{x-2}{5}\Rightarrow x=\frac{23}{9}\Rightarrow M\left(\frac{23}{9};0\right)\)
Lời giải:
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cô -si ta có:
\(a^3+1+1\geq 3\sqrt[3]{a^3}=3a\)
\(b^3+1+1\geq 3\sqrt[3]{b^3}=3b\)
Cộng theo vế:
\(a^3+b^3+4\geq 3(a+b)\)
\(\Leftrightarrow 6\geq 3(a+b)\Leftrightarrow a+b\leq 2\)
Vậy \((a+b)_{\max}=2\). Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=1\)
Bài 2:
Áp dụng BĐT Cô- si ta có:
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b+c}{4}+\frac{1}{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{8}}=\frac{3}{2}a\)
\(\frac{b^3}{c+a}+\frac{c+a}{4}+\frac{1}{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{b^3}{8}}=\frac{3}{2}b\)
\(\frac{c^3}{a+b}+\frac{a+b}{4}+\frac{1}{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{c^3}{8}}=\frac{3}{2}c\)
Cộng theo vế:
\(T+\frac{1}{2}(a+b+c)+\frac{3}{2}\geq \frac{3}{2}(a+b+c)\)
\(\Leftrightarrow T\geq a+b+c-\frac{3}{2}\)
Theo BĐT Cô-si: \(a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3\)
\(\Rightarrow T\geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Vậy \(T_{\min}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Bài 3:
Điều kiện đề bài tương đương với:
\(a\leq 1; b+2a\leq 4; 2c+3b+6a\leq 18\)
Ta có:
\(A=2\left (\frac{1}{6a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{2c}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{2a}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{1}{6a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{2c}\right)(6a+3b+2c)\geq (1+1+1)^2\)
\(\Rightarrow \frac{1}{6a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{2c}\geq \frac{9}{6a+3b+2c}\geq \frac{9}{18}=\frac{1}{2}\) (1)
\(\left(\frac{1}{2a}+\frac{1}{b}\right)(2a+b)\geq (1+1)^2\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{2a+b}\geq \frac{4}{4}=1\) (2)
\(\frac{1}{2a}\geq \frac{1}{2.1}=\frac{1}{2}\) (3)
Từ (1)(2)(3) suy ra \(A\geq 2.\frac{1}{2}+\frac{1}{3}.1+\frac{1}{2}=\frac{11}{6}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=1; b=2; c=3\)
Đặt \(\left(x;y;z\right)\rightarrow\left(a;\frac{1}{b};c\right)\Rightarrow x+y+z=3\)
Khi đó:
\(M=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{xyz+3}\)
\(\ge\frac{9}{x+xy+xyz+5}\)
Mà theo AM - GM:
\(x+xy+xyz=x\left(1+y+yz\right)=x\left[1+y\left(z+1\right)\right]\le x\left[1+\left(\frac{4-x}{2}\right)^2\right]\)
\(=4-\frac{\left(x-2\right)^2\left(4-x\right)}{4}\le4\)
Đẳng thức xảy ra tại \(x=2;y=1;z=0\)
Vào TKHĐ của mình để xem hình ảnh nhé !
Cre: Chủ tịch học toán
\(\overrightarrow{NB}=-3\overrightarrow{NM}\Rightarrow\frac{\overrightarrow{NB}}{\overrightarrow{NM}}=-3\)
\(\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MC}\Rightarrow\overrightarrow{MA}=-2\overrightarrow{AC}\Rightarrow\frac{\overrightarrow{MA}}{\overrightarrow{AC}}=-2\)
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác BCM:
\(\frac{\overrightarrow{NB}}{\overrightarrow{NM}}.\frac{\overrightarrow{MA}}{\overrightarrow{AC}}.\frac{\overrightarrow{CP}}{\overrightarrow{PB}}=1\Leftrightarrow\left(-3\right).\left(-2\right).\frac{\overrightarrow{CP}}{\overrightarrow{PB}}=1\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{PB}=6\overrightarrow{CP}\Rightarrow\overrightarrow{PB}=-6\overrightarrow{PC}\Rightarrow k=-6\)