D
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
LH
1
30 tháng 1 2020
\(A=\frac{3}{a^2+b^2}+\frac{2}{ab}\)
\(=\frac{3}{a^2+b^2}+\frac{4}{2ab}\ge\frac{\left(\sqrt{3}+2\right)^2}{\left(a+b\right)^2}\)(cauchy-schwarz dạng engel)
\(=7+4\sqrt{3}\)
PT
1
N
31 tháng 8 2019
Ta co:\(1\ge a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\le\frac{1}{4}\)
Dat \(P=a^2+b^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\)
\(=a^2+\frac{1}{16a^2}+b^2+\frac{1}{16b^2}+\frac{15}{16}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\)
\(=a^2+\frac{1}{16a^2}+b^2+\frac{1}{16b^2}+\frac{15}{16}.\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}\ge\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{15}{16}.\frac{2}{ab}\ge1+\frac{15}{16}.\frac{2}{\frac{1}{4}}=\frac{17}{2}\)
Dau '=' xay ra \(a=b=\frac{1}{2}\)
Vay \(P_{min}=\frac{17}{2}\)khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
NT
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 10 2024
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$
$\Rightarrow B=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq (a+b+c).\frac{9}{a+b+c}=9$
Vậy $B_{\min}=9$
Giá trị này đạt tại $a=b=c$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 10 2024
Cách 2:
$B=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})$
Áp dụng BĐT Cô-si:
$B = 3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})\geq 3+2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}+2\sqrt{\frac{a}{c}.\frac{c}{a}}+2\sqrt{\frac{b}{c}.\frac{c}{b}}$
$=3+2+2+2=9$
Vậy $B_{\min}=9$. Giá trị này đạt tại $a=b=c$
H
0
\(B=\frac{ab}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}=\frac{ab}{ab-a-b+1}=\frac{ab}{ab-\left(a+b\right)+1}=\frac{ab}{ab-3+1}\)(do a+b=3)
\(=\frac{ab}{ab-2}=1+\frac{2}{ab-2}\ge1+\frac{2}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}-2}=1+\frac{2}{\frac{9}{4}-2}=9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{3}{2}\)