Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, Áp dụng \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
Áp dụng \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\forall x,y>0\)
Ta có: \(A=\left(1+\frac{1}{a}\right)^2+\left(1+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{\left(2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(2+\frac{4}{a+b}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(2+4\right)^2}{2}=18\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
b, Áp dụng \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
Áp dụng \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\forall x,y,z>0\)
Ta có: \(B=\left(1+\frac{1}{a}\right)^2+\left(1+\frac{1}{b}\right)^2+\left(1+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{\left(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}\ge\frac{\left(3+\frac{9}{a+b+c}\right)^2}{3}\ge\frac{\left(3+6\right)^2}{3}=27\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
* Các BĐT phụ bạn tự CM nha! Chúc bạn học tốt
a)
\(A=\dfrac{2x^2-16x+41}{x^2-8x+22}=\dfrac{2\left(x^2-8x+22\right)-3}{x^2-8x+22}\)
\(A-2=-\dfrac{3}{x^2-8x+22}=-\dfrac{3}{\left(x-4\right)^2+6}\ge-\dfrac{3}{6}=-\dfrac{1}{2}\)
\(A\ge\dfrac{3}{2}\) khi x =4
a) A có nghĩa\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2-x\ne0\\2+x\ne0\\x-3\ne0\end{cases}}\Rightarrow x\ne\pm2;x\ne3\)
\(A=\left(\frac{2+x}{2-x}-\frac{2-x}{2+x}-\frac{4x^2}{x^2-4}\right):\frac{x^2-6x+9}{\left(2-x\right)\left(x-3\right)}\)
\(=\frac{\left(2+x\right)^2-\left(2-x\right)^2+4x^2}{4-x^2}:\frac{\left(x-3\right)^2}{\left(2-x\right)\left(x-3\right)}\)
\(=\frac{x^2+4x+4-4+4x-x^2+4x^2}{4-x^2}:\frac{x-3}{2-x}\)
\(=\frac{4x^2+8x}{4-x^2}.\frac{2-x}{x-3}\)
\(=\frac{4x\left(x+2\right)}{\left(2+x\right)\left(x-3\right)}=\frac{4x}{x-3}\)
b) \(A=1\Leftrightarrow4x=x-3\Leftrightarrow x=-1\)
c) \(A>0\Leftrightarrow\frac{4x}{x-3}>0\)
TH1: \(\hept{\begin{cases}4x>0\\x-3>0\end{cases}}\Leftrightarrow x>3\)
TH2: \(\hept{\begin{cases}4x< 0\\x-3< 0\end{cases}}\Leftrightarrow x< 0\)
Giúp mình với đúng mik tích cho :>>
Bài 1 :
\(C=2x^2-7x-13\)
\(2C=4x^2-14x-26\)
\(2C=\left(4x^2-14x+\frac{49}{4}\right)-\frac{55}{4}\)
\(2C=\left(2x-\frac{7}{2}\right)^2-\frac{55}{4}\ge\frac{-55}{4}\)
\(C=\frac{\left(2x-\frac{7}{2}\right)^2-\frac{55}{4}}{2}\ge\frac{-55}{4}:2=\frac{-55}{8}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\left(2x-\frac{7}{2}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(x=\frac{7}{4}\)
Vậy GTNN của \(C\) là \(\frac{-55}{8}\) khi \(x=\frac{7}{4}\)
Chúc bạn học tốt ~
ĐKXĐ : \(x\ne\pm1\)
a) Ta có :
\(P=\frac{x^2+x}{x^2-2x+1}:\left(\frac{x+1}{x}-\frac{1}{1-x}+\frac{2-x^2}{x^2-x}\right)\)
\(=\frac{x\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)^2}:\left(\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)+x+2-x^2}{x\left(x-1\right)}\right)\)
\(=\frac{x\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)^2}:\left(\frac{x+1}{x\left(x-1\right)}\right)\)
\(=\frac{x\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)^2}\cdot\frac{x\left(x-1\right)}{x+1}=\frac{x^2}{x-1}\)
Vậy : \(P=\frac{x^2}{x-1}\)
b) Ta có : \(x^2+2x-3=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+3x-x-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=-3\) ( Do \(x=1\) không thỏa mãn ĐKXĐ )
Thay \(x=-3\) vào P ta có :
\(P=\frac{\left(-3\right)^2}{-3-1}=\frac{9}{-4}=-\frac{9}{4}\)
Vậy : \(P=-\frac{9}{4}\) với x thỏa mãn đề
c) Phải là : \(x>1\) nhé bạn :
Ta có :
\(P=\frac{x^2}{x-1}=\frac{x^2-1+1}{\left(x-1\right)}=\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)}+\frac{1}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}\)
\(=\left(x-1+\frac{1}{x-1}\right)+2\)
Ta có : \(x>1\Rightarrow x-1>0,\frac{1}{x-1}>0\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số dương ta có :
\(x-1+\frac{1}{x-1}\ge2\)
Do đó : \(P\ge2+2=4\)
Dấu "="xảy ra \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=1\Leftrightarrow x=2\) ( Do \(x>1\) )
Vậy : GTNN của P là 4 tại \(x=2\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$P=(a+1)+\frac{2}{a+1}+2\geq 2\sqrt{(a+1).\frac{2}{a+1}}+2=2\sqrt{2}+2$
Vậy $P_{\min}=2\sqrt{2}+2$
Giá trị này đạt tại $(a+1)^2=2; a>0\Leftrightarrow a=\sqrt{2}-1$
------------------------
Bổ sung ĐK: $a>1$
$X=\frac{a^2-1+2}{a-1}=a+1+\frac{2}{a-1}$
$=(a-1)+\frac{2}{a-1}+2$
$\geq 2\sqrt{2}+2$ (AM-GM)
Vậy $X_{\min}=2\sqrt{2}+2$
Giá trị đạt tại $(a-1)^2=\sqrt{2}; a>1\Leftrightarrow a=\sqrt{2}+1$
Cô ơi giúp em câu em vừa gửi ạ