\(^3\)+\(\frac{1}{a}\)

OLM ưu đãi đặc biệt gói SVIP 18 THÁNG dành cho nhà trường, đăng kí ngay!

OLM tuyển CTV cộng đồng hỏi đáp, đăng kí ngay!

K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Tất cả Toán Vật lý Hóa học Sinh học Ngữ văn Tiếng anh Lịch sử Địa lý Tin học Công nghệ Giáo dục công dân Âm nhạc Mỹ thuật Tiếng anh thí điểm Lịch sử và Địa lý Thể dục Khoa học Tự nhiên và xã hội Đạo đức Thủ công Quốc phòng an ninh Tiếng việt Khoa học tự nhiên
Mua vip
1
123445566
27 tháng 6 2020

cho a,b >0 , a+b=4ab

CMR:\(\frac{a}{4b^2+1}\)+\(\frac{b}{4a^2+1}\)≥\(\frac{1}{2}\)
#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10
1
HK
Hanako-kun
27 tháng 6 2020

\(a+b=4ab\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=4\Rightarrow4\ge\frac{4}{a+b}\Rightarrow a+b\ge1\)

\(\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}=\frac{a\left(4b^2+1\right)-4ab^2}{4b^2+1}+\frac{b\left(4a^2+1\right)-4a^2b}{4a^2+1}\)

\(=a-\frac{4ab^2}{4b^2+1}+b-\frac{4a^2b}{4a^2+1}\)

\(=a+b-\left(\frac{ab^2}{4b^2+1}+\frac{4a^2b}{4a^2+1}\right)\)

\(\ge a+b-\left(\frac{4ab^2}{4b}+\frac{4a^2b}{4a}\right)=a+b-2ab\)

Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\Rightarrow-\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\le-2ab\)

\(\Rightarrow a+b-2ab\ge a+b-\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

\("="\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Đúng(0)
TL
Tuan Luong
16 tháng 7 2019 - olm

cho a, b, c > 0 thỏa mãn \(ab+bc+ca=1\). CMR:

\(\frac{1}{4a^2-bc+1}+\frac{1}{4b^2-ac+1}\)\(+\frac{1}{4c^2-ab+1}\ge\frac{3}{2}\)
#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10
0
NA
Ngọc Ánh
10 tháng 11 2016
Áp dụng BĐT Bunhia 1. Chứng minh các BĐT sau a. \(3a^2+4b^2\ge7,với3a+4b=7\) b. \(3a^2+5b^2\ge\frac{735}{47},với2a-3a=7\)c. \(7a^2+11b^2\ge\frac{2464}{137},với3a-5b=8\)d. \(a^2+b^2\ge\frac{4}{5},vớia+2b=2\) 2. Chứng minh các BĐT saua. \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2},vớia+b\ge1\)b. \(a^3+b^3\ge\frac{1}{4},vớia+b\ge1\)c.\(a^4+b^4\ge\frac{1}{8},vớia+b=1\)d....
Đọc tiếp

Áp dụng BĐT Bunhia

1. Chứng minh các BĐT sau

a. \(3a^2+4b^2\ge7,với3a+4b=7\)

b. \(3a^2+5b^2\ge\frac{735}{47},với2a-3a=7\)

c. \(7a^2+11b^2\ge\frac{2464}{137},với3a-5b=8\)

d. \(a^2+b^2\ge\frac{4}{5},vớia+2b=2\)

2. Chứng minh các BĐT sau

a. \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2},vớia+b\ge1\)

b. \(a^3+b^3\ge\frac{1}{4},vớia+b\ge1\)

c.\(a^4+b^4\ge\frac{1}{8},vớia+b=1\)

d. \(a^4+b^4\ge2,vớia+b=2\)

 

 

 

 

 

 

 
#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10
4
LF
Lightning Farron
10 tháng 11 2016

Bài 1:

a)Áp dụng Bđt Bunhiacopski ta có:

\(3a^2+4b^2\ge\frac{\left(3a+4b\right)^2}{7}=7\)

b)Áp dụng Bđt Bunhiacopski ta có:

\(\left(3a^2+5b^2\right)\left[\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(-\frac{3}{\sqrt{5}}\right)^2\right]\ge\left(2a-3b\right)^2=49\)

\(\Rightarrow3a^2+5b^2\ge\frac{735}{47}\)

c)Áp dụng Bđt Bunhiacopski ta có:

\(\left(7a^2+11b^2\right)\left[\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right)^2+\left(\frac{5}{\sqrt{11}}\right)^2\right]\ge\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\cdot\sqrt{7}a-\frac{5}{\sqrt{11}}\cdot\sqrt{11}b\right)^2=64\)

\(\Rightarrow\frac{274}{77}\left(7a^2+11b^2\right)\ge64\)

\(\Rightarrow7a^2+11b^2\ge\frac{2464}{137}\)

d)Áp dụng Bđt Bunhiacopski ta có:

\(\left(1^2+2^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+2b\right)^2=4\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{4}{5}\)

 

 

 

 

 

 

 

 

Đúng(0)
LF
Lightning Farron
10 tháng 11 2016

lần sau đăng ít thôi nhé

Đúng(0)
KT
Kim Taehyung
29 tháng 1 2020
Cho \(a,b\ge0\) . CM BĐT \(a^3+b^3\ge a^2b+b^2a=ab\left(a+b\right)\left(1\right)\) Áp dụng chứng minh các BĐT sau : a) \(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{abc}\) với \(a,b,c>0\) b) \(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\le1\) với \(a,b,c>0\) và \(abc=1\) c) \(\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\le1\) với \(a,b,c>0\) và...
Đọc tiếp

Cho \(a,b\ge0\) . CM BĐT \(a^3+b^3\ge a^2b+b^2a=ab\left(a+b\right)\left(1\right)\)

Áp dụng chứng minh các BĐT sau :

a) \(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{abc}\) với \(a,b,c>0\)
b) \(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\le1\) với \(a,b,c>0\) và \(abc=1\)
c) \(\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\le1\) với \(a,b,c>0\) và \(abc=1\)
#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10
1
TT
Trần Thanh Phương
29 tháng 1 2020

\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\) ( đúng )

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b\)

a) Áp dụng BĐT trên ta có:

\(\Sigma\left(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\right)\le\Sigma\left(\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}\right)=\Sigma\left[\frac{1}{ab}\cdot\left(\frac{1}{a+b+c}\right)\right]=\frac{1}{a+b+c}\cdot\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=\frac{a+b+c}{\left(a+b+c\right)\cdot abc}=\frac{1}{abc}\)

Dấu "=" khi \(a=b=c\)

b) \(\Sigma\left(\frac{1}{a^3+b^3+1}\right)\le\Sigma\left(\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}\right)=\Sigma\left[\frac{1}{ab}\cdot\left(\frac{1}{a+b+c}\right)\right]=\frac{1}{abc}=1\)

Dấu "=" khi \(a=b=c=1\)

c) \(\Sigma\left(\frac{1}{a+b+1}\right)\le\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt[3]{ab}\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)+\sqrt[3]{abc}}\right)=\Sigma\left[\frac{1}{\sqrt[3]{ab}\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)}\right]\)

\(=\frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}\cdot\left(\frac{1}{\sqrt[3]{ab}}+\frac{1}{\sqrt[3]{bc}}+\frac{1}{\sqrt[3]{ca}}\right)=\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}{\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)\cdot\sqrt[3]{abc}}=\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}=1\)

Dấu "=" khi \(a=b=c=1\)

Đúng(0)
NA
Ngọc Ánh
9 tháng 11 2016
Áp BĐT Cô-si1. Cho a,b,c \(\ge\) 0. Chứng minh các BĐT sau a. \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\) b. \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\ge6abc\) c. \(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{c}{c+a}\le\frac{a+b+c}{2}\) d....
Đọc tiếp

Áp BĐT Cô-si

1. Cho a,b,c \(\ge\) 0. Chứng minh các BĐT sau

a. \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)

b. \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\ge6abc\)

c. \(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{c}{c+a}\le\frac{a+b+c}{2}\)

d. \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10
3
HL
Hoàng Lê Bảo Ngọc
9 tháng 11 2016

d/ Đặt \(x=a+b\) , \(y=b+c\) , \(z=c+a\)

thì : \(a=\frac{x+z-y}{2}\) ; \(b=\frac{x+y-z}{2}\) ; \(c=\frac{y+z-x}{2}\)

Ta có : \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{\frac{x+z-y}{2}}{y}+\frac{\frac{x+y-z}{2}}{z}+\frac{\frac{y+z-x}{2}}{x}\)

\(=\frac{z+x-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}+\frac{y+z-x}{2x}=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}-3\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{1}{2}.6-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

Đúng(0)
HL
Hoàng Lê Bảo Ngọc
9 tháng 11 2016

b/ \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\ge6abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2b^2-2abc+c^2\right)+\left(b^2c^2-2abc+a^2\right)+\left(c^2a^2-2abc+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab-c\right)^2+\left(bc-a\right)^2+\left(ca-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy bđt ban đầu dc chứng minh.

Đúng(0)
TT
Trịnh Thành Công
9 tháng 11 2018 - olm

Cho tam thức bậc hai \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\ \left(a\ khác\ 0\right)\)

Chứng minh rằng nếu f(x) \(\ge\) 0 với mọi \(x\varepsilon R\) thì 4a + c \(\ge\) 2b
#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10
0
TN
Tú Nguyễn
13 tháng 2 2020

Cho a,b,c>0 chứng minh \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) (1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

a) \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)

b) Cho x,y,z>0 tm x+y+z=1. Tìm GTLN của bt \(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)
#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10
1
T
tthnew
13 tháng 2 2020

Mấy cái dấu "=" anh tự xét.

Áp dụng BĐT AM-GM: \(VT=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{3}{\frac{a+b+c}{3}}=\frac{9}{a+b+c}\)

a) Áp dụng: \(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}.\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)

b) \(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le3-\frac{9}{x+y+z+3}=\frac{3}{4}\)

Đúng(0)
NT
Nguyễn Thảo Hân
15 tháng 12 2019

cho a,b>0. chứng minh \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

áp dụng chứng minh bđt sau:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)vớia,b,c>0\)
#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10
0
TT
trần trang
7 tháng 11 2019

Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Côsi:

1) \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\) (a, b, c ≥ 0)

2) \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\ge8\) (a, b, c > 0)

c) \(\left(a+2\right)\left(b+8\right)\left(a+b\right)\ge32ab\) (a, b ≥ 0)
#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10
1
QH
Quang Huy Điền
8 tháng 11 2019

1 ) \(â+b\ge2\sqrt{ab}\)

Tương tự : \(b+c\ge2\sqrt{bc}\)

\(c+a\ge2\sqrt{ca}\)

Nhân vế theo vế của 3 bpt dc dpcm

Dấu = xảy ra khi a = b = c

2) Nhân 2 vế bpt vs abc

Cm như 1)

3) \(a+2\ge2\sqrt{2a}\)

\(b+8\ge2\sqrt{8b}\)

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

Nhân vế theo vế của 3 bpt dc dpcm

Dấu = xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=8\\a=b\end{matrix}\right.\) (vô lí)

nên k xảy ra đẳng thức

Đúng(0)
Bảng xếp hạng
Tất cả Toán Vật lý Hóa học Sinh học Ngữ văn Tiếng anh Lịch sử Địa lý Tin học Công nghệ Giáo dục công dân Âm nhạc Mỹ thuật Tiếng anh thí điểm Lịch sử và Địa lý Thể dục Khoa học Tự nhiên và xã hội Đạo đức Thủ công Quốc phòng an ninh Tiếng việt Khoa học tự nhiên
  • Tuần
  • Tháng
  • Năm
Các khóa học có thể bạn quan tâm
Tổng thanh toán: 0đ (Tiết kiệm: 0đ)
Yêu cầu VIP