Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ Ta có
\(K^4+\frac{1}{4}=K^4+K^2+\frac{1}{4}-K^2=\left(K^2+\frac{1}{2}\right)^2-K^2=\left(K^2+K+\frac{1}{2}\right)\left(K^2-K+\frac{1}{2}\right)\)
Ta lại có
\(K^2+K+\frac{1}{2}=\left(K+1\right)^2-\left(K+1\right)+\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow K^4+\frac{1}{4}=\left(K^2-K+\frac{1}{2}\right)\left(\left(K+1\right)^2-\left(K+1\right)+\frac{1}{2}\right)\)
Áp dụng vào bài toán ta được
\(=\frac{101^2-101+0,5}{1^2-1+0,5}=20201\)\(1S=\frac{\left(2^2-2+0,5\right)\left(3^2-3+0,5\right)\left(4^2-4+0,5\right)\left(5^2-5+0,5\right)...\left(100^2-100+0,5\right)\left(101^2-101+0,5\right)}{\left(1^2-1+0,5\right)\left(2^2-2+0,5\right)\left(3^2-3+0,5\right)\left(4^2-4+0,5\right)...\left(99^2-99+0,5\right)\left(100^2-100+0,5\right)}\)
b/
\(\frac{3\left(x+y\right)}{3\sqrt{x\left(4x+5y\right)}+3\sqrt{y\left(4y+5x\right)}}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y\right)}{\frac{9x+4x+5y}{2}+\frac{9y+4y+5x}{2}}\)
\(=\frac{1}{3}\)
Dấu = xảy ra khi x = y
p \(\ge\)\(\frac{4}{a^2+b^2+2\left(a+b\right)}\) +\(\sqrt{\left(1+ab\right)^2}\) (bunhia và cosi)
=\(\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+1+ab=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+a+b+1\)
do \(a+b=ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\Rightarrow a+b\ge4\)
dạt a+b = t thì t>=4
cần tìm min \(\frac{4}{t^2}+t+1=\frac{4}{t^2}+\frac{t}{16}+\frac{t}{16}+\frac{7t}{8}+1\)
\(\ge3.\sqrt[3]{\frac{4}{t^2}.\frac{t}{16}.\frac{t}{16}}+\frac{7.4}{8}+1=\frac{21}{4}\)
dau = xay ra khi a=b=2
\(S=\frac{a}{a^2+1}+\frac{5\left(a^2+1\right)}{2a}=\frac{a}{a^2+1}+\frac{10\left(a^2+1\right)}{4a}\)
\(S=\frac{a}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4a}+\frac{9\left(a^2+1\right)}{4a}\)
Vì \(a>0\)nên áp dụng bất dẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(\frac{a}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4a}\ge2\sqrt{\frac{a\left(a^2+1\right)}{4\left(a^2+1\right)a}}=2\sqrt{\frac{1}{4}}=2.\frac{1}{2}=1\left(1\right)\)
Vì \(a>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(a^2+1\ge2a\)
\(\Leftrightarrow9\left(a^2+1\right)\ge9.2a=18a\)
\(\Leftrightarrow\frac{9\left(a^2+1\right)}{4a}\ge\frac{18a}{4a}=\frac{9}{2}\left(2\right)\)(vì \(a>0\))
Từ (1) và (2), ta được:
\(\frac{a}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4a}+\frac{9\left(a^2+1\right)}{4a}\ge1+\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow S\ge\frac{11}{2}\)
Dấu bằng xảy ra
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{a}{a^2+1}=\frac{a^2+1}{4a}\\a^2=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=1\)(thỏa mãn \(a>0\))
Vậy \(minS=\frac{11}{2}\Leftrightarrow a=1\)
Áp dụng BĐT AM - GM:
\(\frac{3}{2}\ge a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) \(\Rightarrow abc\le\frac{1}{8}\)
\(1+1+1+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2b}\ge7\sqrt[7]{\frac{1}{16a^2b^2}}\)
\(\Leftrightarrow3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge7\sqrt[7]{\frac{1}{16a^2b^2}}\)
Tương tự ta CM được:
\(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge7\sqrt[7]{\frac{1}{16b^2c^2}}\)
\(3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\ge7\sqrt[7]{\frac{1}{16c^2a^2}}\)
Nhân vế theo vế 3 bất đẳng thức trên:
\(S\ge343\sqrt[7]{\frac{1}{4096a^4b^4c^4}}\ge343\sqrt[7]{\frac{1}{4096.\frac{1}{8^4}}}=343\)
\(\Rightarrow Min_S=343\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)
ta có:
\(S=\frac{a}{a^2+1}+\frac{5\left(a^2+1\right)}{2a}=\frac{a}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4a}+\frac{9\left(a^2+1\right)}{4a}\)
áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(\frac{a}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4a}\ge2\sqrt{\frac{a}{a^2+1}.\frac{a^2+1}{4a}}=2.\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{9\left(a^2+1\right)}{4a}\ge\frac{9.2a}{4a}=\frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow S\ge\frac{9}{2}+1=\frac{11}{2}\)
Vậy \(Min_S=\frac{11}{2}\)khi a=1
bạn ơi tại sao lại là \(\frac{9\left(a^2+1\right)}{4a}=\frac{9.2a}{4a}\)