Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có :
\(\dfrac{1}{\sqrt{1}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}\)
.............................
\(\dfrac{1}{\sqrt{99}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+.........+\dfrac{1}{\sqrt{99}}+\dfrac{1}{\sqrt{100}}>\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}+.....+\dfrac{1}{10}=\dfrac{100}{10}=10\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+......+\dfrac{1}{\sqrt{100}}>10\left(đpcm\right)\)
Ta có: \(\sqrt[k+1]{\dfrac{k+1}{k}}>1\) với \(k=1,2,...,n\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt[k+1]{\dfrac{k+1}{k}}=\sqrt[k+1]{\dfrac{1.1...1}{k}\cdot\dfrac{k+1}{k}}\)
\(< \dfrac{1+1+1+...+1+\dfrac{k+1}{k}}{k+1}=\dfrac{k}{k+1}+\dfrac{1}{k}=1+\dfrac{1}{k\left(k+1\right)}\)
Suy ra \(1< \sqrt[k+1]{\dfrac{k+1}{k}}< 1+\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)\)
Lần lượt cho \(k=1,2,3,...,n\) rồi cộng lại được:
\(n< \sqrt{2}+\sqrt[3]{\dfrac{3}{2}}+...+\sqrt[n+1]{\dfrac{n+1}{n}}< n+1-\dfrac{1}{n}< n+1\)
Vậy phần nguyên a là n
Ace Legona
hoc24 toàn siêu nhân
lớp gì cũng biết AM-GM
giả / sử không có AM-GM ? toán học đi về đâu?
kể cũng lạ
đã là siêu nhân rồi sao lại phải hỏi nhỉ
\(A=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)
Với \(x=\dfrac{16}{9}\)
\(A=\dfrac{\sqrt{\dfrac{16}{9}}+1}{\sqrt{\dfrac{16}{9}}-1}\)
\(A=\dfrac{\dfrac{4}{3}+1}{\dfrac{4}{3}-1}=\dfrac{\dfrac{7}{3}}{\dfrac{-1}{3}}=7:3:-1.3=-7\)
Với \(x=\dfrac{25}{9}\)
\(A=\dfrac{\sqrt{\dfrac{25}{9}}+1}{\sqrt{\dfrac{25}{9}}-1}\)
\(A=\dfrac{\dfrac{5}{3}+1}{\dfrac{5}{3}-1}=\dfrac{\dfrac{8}{3}}{\dfrac{2}{3}}=8:3:2.3=4\)
\(\rightarrowđpcm\)
1) Theo định nghĩa về căn bậc 2 số học thì đáp án là \(\sqrt{5^2}; \sqrt{(-5)^2}\)
2) Tập $Q$ là tập những số thực biểu diễn được dưới dạng \(\frac{a}{b}\) (a,b tự nhiên, $b$ khác $0$), tập $I$ là tập những số thực không biểu diễn được dạng như trên.
\(0,15=\frac{3}{20}\in\mathbb{Q}\) , A sai.
$\sqrt{2}$ là một số vô tỉ (tính chất quen thuộc), B sai.
$C$ hiển nhiên đúng, theo định nghĩa.
Do đó áp án đúng là C.
3)
a) \(-\sqrt{x}=(-7)^2=49\)
\(\Rightarrow \sqrt{x}=-49\) (vô lý, vì căn bậc 2 số học của một số là một số không âm , trong khi đó $-49$ âm)
Do đó pt vô nghiệm.
b) \(\sqrt{x+1}+2=0\Rightarrow \sqrt{x+1}=-2<0\)
Điều trên hoàn toàn vô lý do căn bậc 2 số học là một số không âm
Vậy pt vô nghiệm.
c) \(5\sqrt{x+1}+2=0\Rightarrow \sqrt{x+1}=\frac{-2}{5}<0\)
Điều trên hoàn toàn vô lý do căn bậc 2 số học là một số không âm
Vậy pt vô nghiệm.
d) \(\sqrt{2x-1}=29\Rightarrow 2x-1=29^2=841\Rightarrow x=\frac{841+1}{2}=421\)
e)\(x^2=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{0}=0\)
g) \((x-1)^2=1\frac{9}{16}=\frac{25}{16}\)
\(\Rightarrow x-1=\pm \sqrt{\frac{25}{16}}=\pm \frac{5}{4}\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=\frac{9}{4}\\ x=\frac{-1}{4}\end{matrix}\right.\)
h) \(\sqrt{3-2x}=1\Rightarrow 3-2x=1^2=1\Rightarrow x=\frac{3-1}{2}=1\)
f) \(\sqrt{x}-x=0\Rightarrow \sqrt{x}=x\Rightarrow x=x^2\)
\(\Rightarrow x(1-x)=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=0\\ x=1\end{matrix}\right.\)
1) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{2010}=\dfrac{2010}{a}=\dfrac{a+b+c+2010}{b+c+2010+a}=1\)
\(\dfrac{2010}{a}=1\Rightarrow a=2010\);
\(\dfrac{c}{2010}=1\Rightarrow c=2010\);
\(\dfrac{b}{c}=1\Rightarrow\dfrac{b}{2010}=1\Rightarrow b=2010\).
Vậy (a, b, c) = (2010; 2010; 2010)
3)
a) \(A=\sqrt{x+24}+\dfrac{4}{7}\)
Có: \(\sqrt{x+24}\ge0\forall x\in R\)
\(\Rightarrow\sqrt{x+24}+\dfrac{4}{7}\ge\dfrac{4}{7}\forall x\in R\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{4}{7}\forall x\in R\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{x+24}=0\Rightarrow x+24=0\Rightarrow x=-24\)
Vậy GTNN của \(A=\dfrac{4}{7}\Leftrightarrow x=-24\)
b) \(B=\sqrt{2x+\dfrac{4}{13}}-\dfrac{13}{191}\)
Có: \(\sqrt{2x+\dfrac{4}{13}}\ge0\forall x\in R\)
\(\Rightarrow\sqrt{2x+\dfrac{4}{13}}-\dfrac{13}{191}\ge-\dfrac{13}{191}\forall x\in R\)
\(\Rightarrow B\ge-\dfrac{13}{191}\forall x\in R\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{2x+\dfrac{4}{13}}=0\)
\(\Rightarrow2x+\dfrac{4}{13}=0\)
\(\Rightarrow2x=-\dfrac{4}{13}\)
\(\Rightarrow x=-\dfrac{2}{13}\)
Vậy GTNN của \(B=-\dfrac{13}{191}\Leftrightarrow x=-\dfrac{2}{13}\)
4)
a) \(A=-\sqrt{x+\dfrac{5}{41}}+\dfrac{7}{12}\)
Có: \(\sqrt{x+\dfrac{5}{41}}\ge0\forall x\in R\)
\(\Rightarrow-\sqrt{x+\dfrac{5}{41}}\le0\forall x\in R\)
\(\Rightarrow-\sqrt{x+\dfrac{5}{41}}+\dfrac{7}{12}\le\dfrac{7}{12}\forall x\in R\)
\(\Rightarrow A\le\dfrac{7}{12}\forall x\in R\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{x+\dfrac{5}{41}}=0\)
\(\Rightarrow x+\dfrac{5}{41}=0\)
\(\Rightarrow x=-\dfrac{5}{41}\)
Vậy GTLN của \(A=\dfrac{7}{12}\Leftrightarrow x=-\dfrac{5}{41}\)
b) \(B=\dfrac{-5}{13}-\sqrt{x-\dfrac{2}{3}}\)
Có: \(\sqrt{x-\dfrac{2}{3}}\ge0\forall x\in R\)
\(\Rightarrow-\sqrt{x-\dfrac{2}{3}}\le0\forall x\in R\)
\(\Rightarrow\dfrac{-5}{13}-\sqrt{x-\dfrac{2}{3}}\le\dfrac{-5}{13}\forall x\in R\)
\(\Rightarrow B\le\dfrac{-5}{13}\forall x\in R\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{x-\dfrac{2}{3}}=0\)
\(\Rightarrow x-\dfrac{2}{3}=0\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{2}{3}\)
Vậy GTLN của \(B=\dfrac{-5}{13}\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3}\)
Bài1:
Ta có:
a)\(\sqrt{\dfrac{3^2}{5^2}}=\sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac{3}{5}\)
b)\(\dfrac{\sqrt{3^2}+\sqrt{42^2}}{\sqrt{5^2}+\sqrt{70^2}}=\dfrac{\sqrt{9}+\sqrt{1764}}{\sqrt{25}+\sqrt{4900}}=\dfrac{3+42}{5+70}=\dfrac{45}{75}=\dfrac{3}{5}\)
c)\(\dfrac{\sqrt{3^2}-\sqrt{8^2}}{\sqrt{5^2}-\sqrt{8^2}}=\dfrac{\sqrt{9}-\sqrt{64}}{\sqrt{25}-\sqrt{64}}=\dfrac{3-8}{5-8}=\dfrac{-5}{-3}=\dfrac{5}{3}\)
Từ đó, suy ra: \(\dfrac{3}{5}=\sqrt{\dfrac{3^2}{5^2}}=\dfrac{\sqrt{3^2}+\sqrt{42^2}}{\sqrt{5^2}+\sqrt{70^2}}\)
Bài 2:
Không có đề bài à bạn?
Bài 3:
a)\(\sqrt{x}-1=4\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}=5\)
\(\Rightarrow x=\sqrt{25}\)
\(\Rightarrow x=5\)
b)Vd:\(\sqrt{x^4}=\sqrt{x.x.x.x}=x^2\Rightarrow\sqrt{x^4}=x^2\)
Từ Vd suy ra:\(\sqrt{\left(x-1\right)^4}=16\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2=16\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2=4^2\)
\(\Rightarrow x-1=4\)
\(\Rightarrow x=5\)
\(\text{c) }\sqrt{6}+\sqrt{12}+\sqrt{20}+\sqrt{30}+\sqrt{42}+\sqrt{50}< 30\)
Ta có : \(6< 6.25\Rightarrow\sqrt{6}< \sqrt{6.25}\Rightarrow\sqrt{6}< 2.5\)
\(12< 12.25\Rightarrow\sqrt{12}< \sqrt{12.25}\Rightarrow\sqrt{12}< 3.5\)
\(20< 20.25\Rightarrow\sqrt{20}< \sqrt{20.25}\Rightarrow\sqrt{20}< 4.5\)
\(30< 30.25\Rightarrow\sqrt{30}< \sqrt{30.25}\Rightarrow\sqrt{30}< 5.5\)
\(42< 42.25\Rightarrow\sqrt{42}< \sqrt{42.25}\Rightarrow\sqrt{42}< 6.5\)
\(50< 56.5\Rightarrow\sqrt{50}< \sqrt{56.25}\Rightarrow\sqrt{50}< 7.5\) \(\left(1\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) suy ra :
\(\sqrt{6}+\sqrt{12}+\sqrt{20}+\sqrt{30}+\sqrt{42}+\sqrt{50}< 2.5+3.5+4.5+5.5+6.5+7.5\)
\(\Rightarrow\sqrt{6}+\sqrt{12}+\sqrt{20}+\sqrt{30}+\sqrt{42}+\sqrt{50}< 30\) \(\left(ĐPCM\right)\)
Vậy \(\sqrt{6}+\sqrt{12}+\sqrt{20}+\sqrt{30}+\sqrt{42}+\sqrt{50}< 30\)
\(\)\(\text{a) }\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{8}< 24\)
Ta có : \(1< 9\Rightarrow\sqrt{1}< \sqrt{9}\Rightarrow\sqrt{1}< 3\)
\(2< 9\Rightarrow\sqrt{2}< \sqrt{9}\Rightarrow\sqrt{2}< 3\)
\(3< 9\Rightarrow\sqrt{3}< \sqrt{9}\Rightarrow\sqrt{3}< 3\)
\(...\)
\(8< 9\Rightarrow\sqrt{8}< \sqrt{9}\Rightarrow\sqrt{8}< 3\) \(\left(1\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) suy ra :
\(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{8}< 3+3+...+3_{\left(\text{8 số hạng 3}\right)}\) \(\) \(\)
\(\) \(\Rightarrow\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{8}< 3\cdot8\)
\(\Rightarrow\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{8}< 24\) \(\left(ĐPCM\right)\)
Vậy \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{8}< 24\)
\(\text{b) }\dfrac{1}{\sqrt{10}}+\dfrac{1}{\sqrt{20}}+...\dfrac{1}{\sqrt{100}}>10\)
Ta có : \(1< 100\Rightarrow\sqrt{1}< \sqrt{100}\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{1}}< \dfrac{1}{\sqrt{100}}\)
\(2< 100\Rightarrow\sqrt{2}< \sqrt{100}\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2}}< \dfrac{1}{\sqrt{100}}\)
\(...\)
\(100=100\Rightarrow\sqrt{100}=\sqrt{100}\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{\sqrt{100}}\) \(\left(1\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) suy ra :
\(\dfrac{1}{\sqrt{10}}+\dfrac{1}{\sqrt{20}}+...\dfrac{1}{\sqrt{100}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}+\dfrac{1}{\sqrt{100}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}_{\left(\text{100 số hạng}\dfrac{1}{\sqrt{100}}\right)}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{10}}+\dfrac{1}{\sqrt{20}}+...\dfrac{1}{\sqrt{100}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}\cdot100\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{10}}+\dfrac{1}{\sqrt{20}}+...\dfrac{1}{\sqrt{100}}>\dfrac{10}{\sqrt{100}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{10}}+\dfrac{1}{\sqrt{20}}+...\dfrac{1}{\sqrt{100}}>10\) \(\left(ĐPCM\right)\)
Vậy \(\dfrac{1}{\sqrt{10}}+\dfrac{1}{\sqrt{20}}+...\dfrac{1}{\sqrt{100}}>10\)
\(\)
\(A=\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}>\sqrt{n}\left(1\right)\)
Với \(n=2\), BĐT \(\left(1\right)\) trở thành \(\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}>\sqrt{2}\) (đúng)
Giả sử \(\left(1\right)\) đúng với \(n=k\), nghĩa là \(\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{k}}>\sqrt{k}\left(2\right)\)
Ta chứng minh \(\left(1\right)\) đúng với \(n=k+1\). Thật vậy, từ \(\left(2\right)\) suy ra:
\(\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{k}}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\)
Vì \(\sqrt{k}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}=\dfrac{\sqrt{k\left(k+1\right)}+1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1}\)
Nên \(\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{k}}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1}\)
Tức là \(\left(1\right)\) đúng với \(n=k+1\).
Theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số tự nhiên \(n>1\)