X
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HN
3 tháng 12 2018
\(1=\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)^2=\left(a+b+c\right)^2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)^2\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
\(\le\left(\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3}\right)^3=\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge1\)
16 tháng 9 2021
Ta có:
a3 + b3 + c3 - 3abc = 1
\(\Leftrightarrow\) (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = 1
\(\forall\) x ∈ R, ta có:
a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca = \(\dfrac{1}{2}\)[(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2] > 0 [Vì (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = 1 nên phải > 0]
=> a + b + c > 0
Ta có:
(a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = 1
\(\Leftrightarrow\) P = \(\dfrac{1}{a+b+c}\) + ab + bc + ca
\(\Leftrightarrow\) 2P = \(\dfrac{2}{a+b+c}\) + 2ab + 2bc + 2ca
\(\Leftrightarrow\) 3P = \(\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{a+b+c}+\left(a+b+c\right)^2\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số dương, ta có:
\(\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{a+b+c}+\left(a+b+c\right)^2\ge3\)
\(\Leftrightarrow\) P \(\ge1\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=1&\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=1&\end{matrix}\right.\)(Tự giải nha :)))
Chứng minh AM-GM 3 số:
x + y + z ≥ 3\(\sqrt[3]{xyz}\)
\(\Leftrightarrow\) (\(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\))(\(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{z^2}-\sqrt[3]{xy}-\sqrt[3]{yz}-\sqrt[3]{zx}\)) ≥ 0 (lđ \(\forall\) x, y, z > 0)
NA
0
CC
0
PT
2
2 tháng 9 2015
1, n có dạng 2k+1(n\(\in N\)) Ta có:
\(n^2+4n+3=\left(2k+1\right)^2+4\left(2k+1\right)+3\)
\(=4k^2+4k+1+8k+4+3\)
\(=4k^2+12k+8\)
\(=4\left(k^2+3k+2\right)\)
\(=4\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)
vì (k+1)(k+2) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp \(\Rightarrow\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) chia hết cho 2
mà 4(k+1)(k+2)chia hết cho 4
\(\Rightarrow n^2+4n+3\) chia hết cho 8 với mọi n là số lẻ.
2, ta có:
\(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)\left(ab-bc-ac\right)+3abc\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\) (vì a+b+c=0)
20 tháng 9 2018
a+b+c=0
=>(a+b+c)3=0
=>a3+b3+c3+3a2b+3ab2+3b2c+3bc2+3a2c+3ac2+6abc=0
=>a3+b3+c3+(3a2b+3ab2+3abc)+(3b2c+3bc2+3abc)+(3a2c+3ac2+3abc)-3abc=0
=>a3+b3+c3+3ab(a+b+c)+3bc(a+b+c)+3ac(a+b+c)=3abc
Do a+b+c=0
=>a3+b3+c3=3abc(ĐPCM)
5 tháng 9 2016
đề sai á? tg ns lăng nhăng lên đây thử xem có ai giải k thôi
HT
0
K
13 tháng 9 2021
Ta có: \(abc\le\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\) ; \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
Mà \(a^2+b^2+c^2=3abc\)
=>\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\le\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}.3\)
=> \(a+b+c\ge3\)
Áp dụng bđt bunhia dạng phân thức ta có:
\(M\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+6}\)
Đặt \(a+b+c=x\left(x\ge3\right)\)
=> \(M\ge\frac{x^2}{x+6}\)
Xét \(\frac{x^2}{x+6}\ge\frac{5}{9}x-\frac{2}{3}\)
<=>\(x^2\ge\frac{5}{9}x^2+\frac{8}{3}x-4\)
<=>\(\left(\frac{2}{3}x-2\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
=> \(M\ge\frac{5}{9}x-\frac{2}{3}\ge\frac{5}{9}.3-\frac{2}{3}=1\)
=>\(MinM=1\)xảy ra khi a=b=c=1
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=6abc\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=6abc\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=3abc\)
Đến đây ta chỉ cần chứng minh \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=a^3+b^3+c^3\)
Nhưng rõ ràng: \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ne a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)
KL : Đề sai.