MN
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
7 tháng 8 2021
Ta có \(-\dfrac{4ab^2}{4b^2+1}\ge-\dfrac{4ab^2}{2\sqrt{4b^2}}=\dfrac{4ab^2}{4b}=ab\)
\(-\dfrac{4a^2b}{4a^2+1}\ge-\dfrac{4a^2b}{2\sqrt{4a^2}}=\dfrac{4a^2b}{4a}=ab\)
Mà \(\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4a^2+1}=\dfrac{a\left(4b^2+1\right)}{4b^2+1}-\dfrac{4ab^2}{4b^2+1}+\dfrac{b\left(4a^2+1\right)}{4a^2+1}-\dfrac{4ab^2}{4a^2+1}\ge a-ab+b-ab=4ab-2ab=2ab\)
Mà \(a+b=4ab\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=4\ge\dfrac{2}{2\sqrt{ab}}\Rightarrow4\sqrt{ab}\ge2\Rightarrow ab\ge\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow2ab\ge\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4a^2+1}\ge\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 8 2021
Lời giải:
ĐK $\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=4$
Đặt $\frac{1}{x}=a; \frac{1}{y}=b$ thì bài toán trở thành:
Cho $a,b>0$ thỏa mãn $a+b=4$. CMR:
$P=\frac{x^2}{y(x^2+4)}+\frac{y^2}{x(y^2+4)}\geq \frac{1}{2}$
-----------------------
Áp dụng BĐT AM-GM:
$\frac{x^2}{y(x^2+4)}+\frac{y(x^2+4)}{64}\geq \frac{x}{4}$
$\frac{y^2}{x(y^2+4)}+\frac{x(y^2+4)}{64}\geq \frac{y}{4}$
Cộng theo vế và rút gọn:
$P\geq \frac{3(x+y)-xy}{16}=\frac{12-xy}{16}$
Mà $xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=4$
$\Rightarrow P\geq \frac{12-4}{16}=\frac{1}{2}$
Ta có đpcm.
R
21 tháng 6 2017
m.n/(m^2+n^2 ) và m.n/2018
- Đặt (m,n)=d => m= da;n=db ; (a,b)=1
=> d^2(a^2+b^2)/(d^2(ab)) = (a^2+b^2)/(ab) => b/a ; a/b => a=b=> m=n=> ( 2n^2+2018)/n^2 =2 + 2018/n^2 => n^2/2018
=> m=n=1 ; lẻ và nguyên tố cùng nhau. vì d=1
B1
23 tháng 8 2017
Vẽ SH _I_ (ABCD) => H là trung điểm AD => CD _I_ (SAD)
Vẽ HK _I_ SD ( K thuộc SD) => CD _I_ HK => HK _I_ (SCD)
Vẽ AE _I_ SD ( E thuộc SD).
Ta có S(ABCD) = 2a² => SH = 3V(S.ABCD)/S(ABCD) = 3(4a³/3)/(2a²) = 2a
1/HK² = 1/SH² + 1/DH² = 1/4a² + 1/(a²/2) = 9/4a² => HK = 2a/3
Do AB//CD => AB//(SCD) => khoảng cách từ B đến (SCD) = khoảng cách từ A đến (SCD) = AE = 2HK = 4a/3
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 12 2021
a.
\(\Leftrightarrow8x^3+8x=8y^2\)
\(\Leftrightarrow x\left(x^2+1\right)=y^2\)
Gọi \(d=ƯC\left(x;x^2+1\right)\)
\(\Rightarrow x^2+1-x.x⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
\(\Rightarrow x\) và \(x^2+1\) nguyên tố cùng nhau
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m^2\\x^2+1=n^2\end{matrix}\right.\)
\(x^2+1=n^2\Rightarrow\left(n-x\right)\left(n+x\right)=1\)
\(\Rightarrow x=0\)
\(\Rightarrow y=0\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 12 2021
TH1: a;b;c đồng dư khi chia 3 \(\Rightarrow a+b+c⋮3\)
TH2: 3 số a;b;c có số dư đôi một khác nhau khi chia cho 3 \(\Rightarrow a+b+c⋮3\)
TH3: 3 số a;b;c có 2 số đồng dư khi chia 3, một số khác số dư. Không mất tính tổng quát, giả sử \(a,b\) đồng dư khi chia 3 còn c khác số dư
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2⋮3\) còn \(\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\) chia 3 luôn dư 1 hoặc 2
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2⋮̸3\) (1)
Mặt khác từ giả thiết:
\(\left\{{}\begin{matrix}b^2-ac+3ac⋮3\\c^2-ab-3ab⋮3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2-ac⋮3\\c^2-ab⋮3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left(a^2-bc\right)+2\left(b^2-ac\right)+2\left(c^2-ab\right)⋮3\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2⋮3\) trái với (1) ktm
Vậy \(a+b+c⋮3\)
ML
Cho a,b,c là các số nguyên dương thoả mãn a^2+ b^2 +c^2 chia hết cho 10 cmr abc cũng chia hết cho 10
0
3 tháng 2 2021
Ta có: \(\frac{a}{1+4b^2}=\frac{a\left(1+4b^2\right)-4ab^2}{1+4b^2}=a-\frac{4ab^2}{1+4b^2}\ge a-\frac{4ab^2}{2\sqrt{4b^2.1}}=a-\frac{2ab^2}{2b}=a-ab\)(bđt cosi)
CMTT: \(\frac{b}{1+4a^2}\ge b-ab\)
=> P \(\ge a+b-2ab=4ab-2ab=2ab\)
Mặt khác ta có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)(cosi)
=> \(4ab\ge2\sqrt{ab}\) <=> \(2ab\ge\sqrt{ab}\)<=> \(4a^2b^2-ab\ge0\) <=> \(ab\left(4ab-1\right)\ge0\)
<=> \(\orbr{\begin{cases}ab\le0\left(loại\right)\\ab\ge\frac{1}{4}\end{cases}}\)(vì a,b là số thực dương)
=> P \(\ge2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = 1/2
Vậy MinP = 1/2 <=> a = b= 1/2
KN
3 tháng 2 2021
Ta có: \(a+b=4ab\le\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[\left(a+b\right)-1\right]\ge0\)
Mà \(a+b>0\Rightarrow a+b\ge1\)
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có: \(P=\frac{a}{1+4b^2}+\frac{b}{1+4a^2}=\left(a-\frac{4ab^2}{1+4b^2}\right)+\left(b-\frac{4a^2b}{1+4a^2}\right)\)\(\ge\left(a-\frac{4ab^2}{4b}\right)+\left(b-\frac{4a^2b}{4a}\right)=\left(a+b\right)-2ab=\left(a+b\right)-\frac{a+b}{2}=\frac{a+b}{2}\ge\frac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1/2
30 tháng 10 2015
\(\frac{3}{ab+bc+ca}=\frac{9}{3\left(ab+bc+ca\right)}\)
áp dụng hệ quả bun nhi a ta có: \(A\ge\frac{\left(3+1\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)+ab+bc+ca}\)\(\ge\frac{16}{\left(a+b+c\right)^2+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=12\)
bằng khi a=b=c=1/3
31 tháng 10 2015
tạ duy phương:
\(\frac{a_1^2}{x_1}+\frac{a^2_2}{x_2}\ge\frac{\left(a_1+a_2\right)^2}{x_1+x_2}\)tương tự áp dụng cho nhiều số
1 tháng 9 2018
p=a^2+b^2 (1)
p là số nguyên tố, p-5 chia hết 8 => p lẻ >=13 và a,b có 1 chẵn 1 lẻ
A=a.x^2-b.y^2 chia hết cho p, nên có thể viết A = p(c.x^2 -d.y^2) với c,d phải nguyên
và c.p = a và d.p = b
thay (1) vào ta thấy c=a/(a^2+b^2) cần nguyên là vô lý vậy A muốn chia hết cho p <=> x và y cùng là bội số của p
DB
2 tháng 9 2018
Đặt \(p=8k+5\left(đk:K\in N\right)\)
Vì: \(\left(ax^2\right)^{4k+2}-\left(by^2\right)^{4k+2}⋮\left(ax^2-by^2\right)\)
\(\Rightarrow a^{4k+2}.x^{8k+4}-b^{4k+2}.y^{8k+4}⋮p\)
Mà \(a^{4k+2}.x^{8k+4}-b^{4k+2}.y^{8k+4}\)\(=\left(a^{4k+2}+b^{4k+2}\right).x^{8k+4}-b^{4k+2}\)\(\left(x^{8k+4}+y^{8k+4}\right)\)
Ta lại có: \(a^{4k+2}+b^{4k+2}=\left(a^2\right)^{2k+1}+\left(b^2\right)^{2k+1}⋮p\) ; p<d nên \(x^{8k+4}+y^{8k+4}⋮p\)
Làm tiếp đi