Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{2b};\dfrac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=0\)
\(M=\dfrac{x^2}{yz}+\dfrac{y^2}{zx}+\dfrac{z^2}{xy}=\dfrac{x^3+y^3+z^3}{xyz}\)
\(=\dfrac{\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+z^3}{xyz}=\dfrac{-z^3-3xy\left(-z\right)+z^3}{xyz}\)
\(=\dfrac{3xyz}{xyz}=3\)
\(\frac{4a^2+\left(b-c\right)^2}{2a^2+b^2+c^2}+\frac{4b^2+\left(c-a\right)^2}{2b^2+c^2+a^2}+\frac{4c^2+\left(a-b\right)^2}{2c^2+a^2+b^2}\ge3\)
\(\Rightarrow2-\frac{4a^2+\left(b-c\right)^2}{2a^2+b^2+c^2}+2-\frac{4b^2+\left(c-a\right)^2}{2b^2+c^2+a^2}+2-\frac{4c^2+\left(a-b\right)^2}{2c^2+a^2+b^2}\le3\)
Cần chứng minh BĐT ở dòng thứ 2 đúng
\(\Rightarrow\frac{\left(b+c\right)^2}{2a^2+b^2+c^2}+\frac{\left(c+a\right)^2}{2b^2+c^2+a^2}+\frac{\left(a+b\right)^2}{2c^2+a^2+b^2}\le3\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(\frac{\left(b+c\right)^2}{2a^2+b^2+c^2}=\frac{\left(b+c\right)^2}{\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+c^2\right)}\le\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại r` cộng theo vế:
\(\RightarrowΣ\frac{\left(b+c\right)^2}{2a^2+b^2+c^2}\leΣ\frac{b^2}{a^2+b^2}+Σ\frac{c^2}{a^2+c^2}=3\)
\(a^2+4b=a^2+4a\Leftrightarrow a^2-b^2+4b-4a=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)-4\left(a-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b-4\right)=0\)
\(\Rightarrow a+b-4=0\Rightarrow a+b=4\)
b/ \(Q=a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\)
\(=4^3-12ab=64-12ab\)
Lại có: \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+4b=7\\b^2+4a=7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2+b^2+4\left(a+b\right)=14\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2-2ab+4\left(a+b\right)=14\)
\(\Rightarrow16-2ab+16=14\Rightarrow ab=9\)
\(\Rightarrow Q=64-12.8=-32\)
1 a) Bạn nhẩm nghiệm ra a = 1 thỏa mãn pt
Phân tích như sau : a^3 - a^2 + 3a^2 - 3a - 10a + 10 = (a-1)(a^2 + 3a - 10) = (a-1)(a+5)(a-2)
1 b) Dùng hằng đẳng thức a^2 - b^2 = (a-b)(a+b). Chứng minh ư ? Phá ngoặc ra đúng ngay :)
=(a^2 + 4b^2 - 5)^2 - (4ab+4)^2 (đưa 16 vào trong bình phương đó)
=(a^2 + 4b^2 - 4ab - 4 - 5)(a^2 + 4b^2 + 4ab +4 - 5)
Dùng tiếp hằng đẳng thức (a+b)^2 = a^2 + b^2 +2ab
=[(a-2b)^2 - 9] [(a+2b)^2 - 1]
Dùng 1 lần nửa hằng đẳng thức đầu tiên
=(a-2b-3)(a-2b+3)(a+2b-1)(a+2b+1)
Đặt PT đã cho ở đề là A
Ta có : \(\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}=\sqrt{3a\left(a+4b\right)+2b\left(a+4b\right)}=\sqrt{\left(3a+2b\right)\left(a+4b\right)}\)
\(\le\dfrac{3a+2b+a+4b}{2}=\dfrac{4a+6b}{2}=2a+3b\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}\ge\dfrac{a^2}{2a+3b}\)
Làm tương tự như trên , ta có :
\(\dfrac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}\ge\dfrac{b^2}{2b+3c};\dfrac{c^2}{\sqrt{3c^2+8a^2+14ac}}\ge\dfrac{c^2}{2c+3a}\)
Nên : \(A\ge\dfrac{a^2}{2a+3b}+\dfrac{b^2}{2b+3c}+\dfrac{c^2}{2c+3a}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(a+b+c\right)}=\dfrac{5}{a+b+c}\left(đpcm\right)\)
a2= 7-4b
b2= 10-8c
c2=-26-6a
rồi tự tính nha bạn