Câu hỏi của thánh yasuo lmht

Question

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giácChứng minh: $\frac{a^{2016}}{b+c-a}+\frac{b^{2016}}{c+a-b}+\frac{c^{2016}}{a+b-c}\ge a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}$

Phước Nguyễn · Accepted Answer

Vì  $a,b,c$  lần lượt là độ dài ba cạnh của 1 tam giác cho trước nên suy ra  $a,b,c>0$$----------------$Áp dụng bất đẳng thức  $AM-GM$  cho hai số dương, ta có:$\frac{a^{2016}}{b+c-a}+\left(b+c-a\right)a^{2014}\ge2\sqrt{\frac{a^{2016}}{b+c-a}.\left(b+c-a\right)a^{2014}}=2a^{2015}$$\Rightarrow$  $\frac{a^{2016}}{b+c-a}+a^{2014}b+ca^{2014}\ge3a^{2015}$  $\left(1\right)$Theo đó, ta cũng thiết lập tương tự hai bất đẳng thức mới bắt đầu với các hoán vị  $b\rightarrow c\rightarrow a,$   thu được:$\frac{b^{2016}}{c+a-b}+b^{2014}c+ab^{2014}\ge3b^{2015}$  $\left(2\right)$$\frac{c^{2016}}{a+b-c}+c^{2014}a+bc^{2014}\ge3c^{2015}$  $\left(3\right)$Cộng ba bất đẳng thức  $\left(1\right);\left(2\right)$  và   $\left(3\right),$ đồng thời chuyển vế,  khi đó bđt mới có dạng:$\frac{a^{2016}}{b+c-a}+\frac{b^{2016}}{c+a-b}+\frac{c^{2016}}{a+b-c}\ge3\left(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}\right)$ $-\left[ab\left(a^{2013}+b^{2013}\right)+bc\left(b^{2013}+c^{2013}\right)+ca\left(c^{2013}+a^{2013}\right)\right]$  $\left(\alpha\right)$$----------------$Mặt khác, lại theo bđt  $AM-GM,$   ta có:$\Omega_1:$  $2014a^{2015}+b^{2015}\ge2015\sqrt[2015]{\left(a^{2014}b\right)^{2015}}=2015a^{2014}b$$\Omega_2:$  $2014b^{2015}+a^{2015}\ge2015\sqrt[2015]{\left(b^{2014}a\right)^{2015}}=2015b^{2014}a$Cộng từng vế của hai bđt ở trên và rút gọn, khi đó:     $a^{2015}+b^{2015}\ge a^{2014}b+b^{2014}a=ab\left(a^{2013}+b^{2013}\right)$    $\left(1^'\right)$Tương tự ta thực hiện các dãy biến đổi như trên, nhận được:  $b^{2015}+c^{2015}\ge bc\left(b^{2013}+c^{2013}\right)$  $\left(2^'\right)$$c^{2015}+a^{2015}\ge ca\left(c^{2013}+a^{2013}\right)$  $\left(3^'\right)$Từ   $\left(1^'\right);\left(2^'\right)$  và  $\left(3^'\right)$  suy ra  $2\left(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}\right)\ge\left[ab\left(a^{2013}+b^{2013}\right)+bc\left(b^{2013}+c^{2013}\right)+ca\left(c^{2013}+a^{2013}\right)\right]$   $\left(\beta\right)$$----------------$$\left(\alpha\right);\beta$  $\Rightarrow$  $đpcm$Dấu  $"="$  xảy ra   $\Leftrightarrow$  $a=b=c,$   tức là tam giác khi đó phải là một tam giác đều!Câu trả lời: Vì  $a,b,c$  lần lượt là độ dài ba cạnh của 1 tam giác cho trước nên suy ra  $a,b,c>0$$----------------$Áp dụng bất đẳng thức  $AM-GM$  cho hai số dương, ta có:$\frac{a^{2016}}{b+c-a}+\left(b+c-a\right)a^{2014}\ge2\sqrt{\frac{a^{2016}}{b+c-a}.\left(b+c-a\right)a^{2014}}=2a^{2015}$$\Rightarrow$  $\frac{a^{2016}}{b+c-a}+a^{2014}b+ca^{2014}\ge3a^{2015}$  $\left(1\right)$Theo đó, ta cũng thiết lập tương tự hai bất đẳng thức mới bắt đầu với các hoán vị  $b\rightarrow c\rightarrow a,$   thu được:$\frac{b^{2016}}{c+a-b}+b^{2014}c+ab^{2014}\ge3b^{2015}$  $\left(2\right)$$\frac{c^{2016}}{a+b-c}+c^{2014}a+bc^{2014}\ge3c^{2015}$  $\left(3\right)$Cộng ba bất đẳng thức  $\left(1\right);\left(2\right)$  và   $\left(3\right),$ đồng thời chuyển vế,  khi đó bđt mới có dạng:$\frac{a^{2016}}{b+c-a}+\frac{b^{2016}}{c+a-b}+\frac{c^{2016}}{a+b-c}\ge3\left(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}\right)$ $-\left[ab\left(a^{2013}+b^{2013}\right)+bc\left(b^{2013}+c^{2013}\right)+ca\left(c^{2013}+a^{2013}\right)\right]$  $\left(\alpha\right)$$----------------$Mặt khác, lại theo bđt  $AM-GM,$   ta có:$\Omega_1:$  $2014a^{2015}+b^{2015}\ge2015\sqrt[2015]{\left(a^{2014}b\right)^{2015}}=2015a^{2014}b$$\Omega_2:$  $2014b^{2015}+a^{2015}\ge2015\sqrt[2015]{\left(b^{2014}a\right)^{2015}}=2015b^{2014}a$Cộng từng vế của hai bđt ở trên và rút gọn, khi đó:     $a^{2015}+b^{2015}\ge a^{2014}b+b^{2014}a=ab\left(a^{2013}+b^{2013}\right)$    $\left(1^'\right)$Tương tự ta thực hiện các dãy biến đổi như trên, nhận được:  $b^{2015}+c^{2015}\ge bc\left(b^{2013}+c^{2013}\right)$  $\left(2^'\right)$$c^{2015}+a^{2015}\ge ca\left(c^{2013}+a^{2013}\right)$  $\left(3^'\right)$Từ   $\left(1^'\right);\left(2^'\right)$  và  $\left(3^'\right)$  suy ra  $2\left(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}\right)\ge\left[ab\left(a^{2013}+b^{2013}\right)+bc\left(b^{2013}+c^{2013}\right)+ca\left(c^{2013}+a^{2013}\right)\right]$   $\left(\beta\right)$$----------------$$\left(\alpha\right);\beta$  $\Rightarrow$  $đpcm$Dấu  $"="$  xảy ra   $\Leftrightarrow$  $a=b=c,$   tức là tam giác khi đó phải là một tam giác đều!

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP