Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Mình có cách này,không chắc lắm:
\(VT=\frac{a}{a\left(a^2+bc+1\right)}+\frac{b}{b\left(b^2+ac+1\right)}+\frac{c}{c\left(c^2+ab+1\right)}\) (làm tắt,bạn tự hiểu nha)
\(=\frac{1}{a^2+bc+1}+\frac{1}{b^2+ac+1}+\frac{1}{c^2+ab+1}\)
\(\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c}}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\left[\left(1+1+1\right)-\left(\frac{\sqrt[3]{a}-1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{\sqrt[3]{b}-1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{\sqrt[3]{c}-1}{\sqrt[3]{c}}\right)\right]\)
\(=1-\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt[3]{a}-1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{\sqrt[3]{b}-1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{\sqrt[3]{c}-1}{\sqrt[3]{c}}\right)\)
Áp dụng BĐT Cô si với biểu thức trong ngoặc:
\(=1-\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt[3]{a}-1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{\sqrt[3]{b}-1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{\sqrt[3]{c}-1}{\sqrt[3]{c}}\right)\)
\(\le1-\sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{a}-1\right)\left(\sqrt[3]{b}-1\right)\left(\sqrt[3]{c-1}\right)}\le1^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
Ta c/m bđt sau:
\(a^3+1\ge a^2+a\)
\(\Leftrightarrow a^3+1-a^2-a\ge0\Leftrightarrow a\left(a^2-1\right)-\left(a^2-1\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(a+1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a^3+a+1}\le\frac{a}{a^2+2a}=\frac{1}{a+2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a^3+a+1}+\frac{b}{b^3+b+1}+\frac{c}{c^3+c+1}\le\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\)
Đặt \((a,b,c)\rightarrow(\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x})\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=\frac{y}{x+2y}+\frac{z}{y+2z}+\frac{x}{z+2x}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{x}{x+2y}+1-\frac{y}{y+2z}+1-\frac{z}{z+2x}\right)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{x^2+2xy}+\frac{y^2}{y^2+2yz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\right)\)\(\le\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}\right)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
\(\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{c^2+b^2+2}+\frac{1}{a^2+c^2+2}\le\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2+2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2+2}\ge\frac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT\ge\frac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\)
\(\ge\frac{\sqrt{3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\ge\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\)
Cần chứng minh \(\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge0\) *luôn đúng*
Câu 3. Dự đoán dấu "=" khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Dùng phương pháp chọn điểm rơi thôi :)
LG
Áp dụng bđt Cô-si được \(a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)
\(\Rightarrow1\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{3}\ge\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{27}\ge a^2b^2c^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{27}}\ge abc\)
Khi đó :\(B=a+b+c+\frac{1}{abc}\)
\(=a+b+c+\frac{1}{9abc}+\frac{8}{9abc}\)
\(\ge4\sqrt[4]{abc.\frac{1}{9abc}}+\frac{8}{9.\frac{1}{\sqrt{27}}}\)
\(=4\sqrt[4]{\frac{1}{9}}+\frac{8\sqrt{27}}{9}=\frac{4}{\sqrt[4]{9}}+\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}+\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Vậy .........
2, \(A=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\)
\(A=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\)
\(A=\left[\frac{a^2}{b+c}+\frac{\left(b+c\right)}{4}\right]+\left[\frac{b^2}{a+c}+\frac{\left(a+c\right)}{4}\right]+\left[\frac{c^2}{a+b}+\frac{\left(a+b\right)}{4}\right]-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(A\ge2.\sqrt{\frac{a^2}{4}}+2.\sqrt{\frac{b^2}{4}}+2.\sqrt{\frac{c^2}{4}}-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}\)
\(A\ge a+b+c-\frac{6}{2}\)
\(A\ge6-3\)
\(A\ge3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2}{b+c}=\frac{b+c}{4}\Leftrightarrow4a^2=\left(b+c\right)^2\Leftrightarrow2a=b+c\)(1)
\(\frac{b^2}{a+c}=\frac{a+c}{4}\Leftrightarrow4b^2=\left(a+c\right)^2\Leftrightarrow2b=a+c\)(2)
\(\frac{c^2}{a+b}=\frac{a+b}{4}\Leftrightarrow4c^2=\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow2c=a+b\)(3)
Lấy \(\left(1\right)-\left(3\right)\)ta có:
\(2a-2c=c+b-a-b=c-a\)
\(\Rightarrow2a-2c-c+a=0\)
\(\Leftrightarrow3.\left(a-c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a-c=0\Leftrightarrow a=c\)
Chứng minh tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}b=c\\a=b\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a=b=c=2\)
Vậy \(A_{min}=3\Leftrightarrow a=b=c=2\)
https://hoc24.vn/hoi-dap/question/562943.html
Em xem ở đây nhé.
Đặt \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\dfrac{x}{y};\dfrac{y}{z};\dfrac{z}{x}\right)\) thì:
\(\left(-x+y+z\right)\left(x-y+z\right)\left(x+y-z\right)\le xyz\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt{\left(-x+y+z\right)\left(x-y+z\right)}\le\dfrac{-x+y+z+x-y+z}{2}=z\)
Tương tự rồi cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(\sqrt{\left(x-y+z\right)\left(x+y-z\right)}\le x;\sqrt{\left(-x+y+z\right)\left(x+y-z\right)}\le y\)
Nhân theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT=\left(-x+y+z\right)\left(x-y+z\right)\left(x+y-z\right)\le xyz=VP\)
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{a(b+c)}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{a^3(b+c)}.\frac{a(b+c)}{4}}=2\sqrt{\frac{1}{4a^2}}=\frac{1}{a}=\frac{abc}{a}=bc\)
Tương tự:
\(\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{b(c+a)}{4}\geq \frac{1}{b}=ac\)
\(\frac{1}{c^3(a+b)}+\frac{c(a+b)}{4}\geq \frac{1}{c}=ab\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow \text{VT}+\frac{ab+bc+ac}{2}\geq ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{ab+bc+ac}{2}\)
Tiếp tục áp dụng AM-GM: \(ab+bc+ac\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3\)
\(\Rightarrow \text{VT}\ge \frac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
Lời giải:
Đặt vế trái là $A$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)(a+b+b+c+c+c)\geq (1+1+1+1+1+1)^2\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\geq \frac{36}{a+2b+3c}\)
Hoàn toàn TT:
\(\frac{1}{b}+\frac{2}{c}+\frac{3}{a}\geq \frac{36}{b+2c+3a}\)
\(\frac{1}{c}+\frac{2}{a}+\frac{3}{b}\geq \frac{36}{c+2a+3b}\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow 6\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq 36A\)
\(\Rightarrow A\leq \frac{1}{6}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Theo đkđb: \(ab+bc+ac=abc\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
Do đó: \(A\leq \frac{1}{6}< \frac{3}{16}\) (đpcm)
Lời giải:
\(a+b+c+ab+bc+ac+abc=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b+ab+1)+c+bc+ac+abc=1\)
\(\Leftrightarrow (a+b+ab+1)+c(1+b+a+ab)=1\)
\(\Leftrightarrow (a+1)(b+1)+c(a+1)(b+1)=1\)
\(\Leftrightarrow (a+1)(b+1)(c+1)=1\)
Đặt \((a+1,b+1,c+1)=(x,y,z)\Rightarrow (a,b,c)=(x-1,y-1,z-1)\) và \(xyz=1\)
Khi đó:
\(P=\frac{1}{3+2(x-1)+y-1+(x-1)(y-1)}+\frac{1}{3+2(y-1)+z-1+(y-1)(z-1)}+\frac{1}{3+2(z-1)+x-1+(x-1)(z-1)}\)
\(=\frac{1}{x+xy+1}+\frac{1}{y+yz+1}+\frac{1}{z+xz+1}\)
\(=\frac{yz}{xyz+xy.yz+yz}+\frac{1}{y+yz+1}+\frac{y}{zy+xz.y+y}\)
\(=\frac{yz}{1+y+yz}+\frac{1}{y+yz+1}+\frac{y}{yz+1+y}=\frac{yz+1+y}{yz+1+y}=1\)
Ta có đpcm.
Cách khác:
Ta chứng minh: \(\frac{a}{a^3+a+1}\le\frac{1}{2}.\frac{a^{\frac{2}{3}}+1}{a^{\frac{4}{3}}+a^{\frac{2}{3}}+1}\) (1)
Đặt \(a=x^3\Leftrightarrow\frac{x^3}{x^9+x^3+1}\le\frac{1}{2}.\frac{x^2+1}{x^4+x^2+1}\)
Tương đương với $$\frac{(x - 1)^2 (x^9 + 2 x^8 + 4 x^7 + 6 x^6 + 6 x^5 + 6 x^4 + 5 x^3 + 4 x^2 + 2 x + 1)}{2 (x^2 - x + 1) (x^2 + x + 1) (x^9 + x^3 + 1)} \geq 0$$
Vậy (1) đúng. Thiết lập $3$ bất đẳng thức tương tự và cộng theo vế thu đượcVasc.
\(\Rightarrow\) $\text{đpcm}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Lời giải:
Xét hiệu: $a^3+1-a(a+1)=a^2(a-1)-(a-1)=(a+1)(a-1)^2\geq 0$ với mọi $a>0$
$\Rightarrow a^3+1\geq a(a+1)\Rightarrow a^3+a+1\geq a(a+2)$
$\Rightarrow \frac{a}{a^3+a+1}\leq \frac{1}{a+2}$
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế thu được:
$\sum \frac{a}{a^3+a+1}\leq \sum \frac{1}{a+2}(*)$
Do $abc=1$ nên tồn tại $x,y,z>0$ sao cho $(a,b,c)=(\frac{x^2}{yz}, \frac{y^2}{xz}, \frac{z^2}{xy})$
Khi đó, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$\sum \frac{1}{a+2}=\sum \frac{yz}{x^2+2yz}=\frac{1}{2}\sum (1-\frac{x^2}{x^2+2yz})=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}.\sum \frac{x^2}{x^2+2yz}\leq \frac{3}{2}-\frac{1}{2}.\frac{(x+y+z)^2}{x^2+2yz+y^2+2xz+z^2+2xy}$
$=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}.\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2}=1(**)$
Từ $(*); (**)$ ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$