Cho a b c là các số thực dương cmr a^2/5a^2+(b+c)^2+b^2/ 5b^2+(c+a)^2+c^2/5c^2+(a+b)^2

LT

Lê Thị Bích Thảo

24 tháng 7 2021

cho các số thực dương a,b,c chứng minh:$\dfrac{a^3}{13a^2+5b^2}+\dfrac{b^3}{13b^2+5c^2}+\dfrac{c^3}{13c^2+5a^2}\ge\dfrac{a+b+c}{18}$

#Toán lớp 9

0

LD

l҉o҉n҉g҉ d҉z҉

13 tháng 4 2021

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng :

$\dfrac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}+\dfrac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}+\dfrac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\le3$

#Toán lớp 9

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

13 tháng 4 2021

Lời giải:

Bạn nhớ tới bổ đề sau: Với $a,b>0$ thì $a^3+b^3\geq ab(a+b)$.

Áp dụng vào bài:

$5a^3-b^3\leq 5a^3-[ab(a+b)-a^3]=6a^3-ab(a+b)$

$\Rightarrow \frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\leq \frac{6a^3-ab(a+b)}{ab+3a^2}=\frac{6a^2-ab-b^2}{3a+b}=\frac{(3a+b)(2a-b)}{3a+b}=2a-b$

Tương tự:

$\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\leq 2b-c; \frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\leq 2c-a$

Cộng theo vế:

$\Rightarrow \text{VT}\leq a+b+c=3$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Đúng(1)

KN

Kiệt Nguyễn

5 tháng 5 2020 - olm

Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

$\sqrt{\frac{a^3}{5a^2+\left(b+c\right)^2}}+\sqrt{\frac{b^3}{5b^2+\left(c+a\right)^2}}+\sqrt{\frac{c^3}{5c^2+\left(a+b\right)^2}}\le\sqrt{\frac{a+b+c}{3}}$

#Toán lớp 9

4

T

tth_new

7 tháng 5 2020

$\Leftrightarrow\Sigma\sqrt{\frac{3a^3}{\left[5a^2+\left(b+c\right)^2\right]\left(a+b+c\right)}}\le1$

Theo Am-GM: $VT=\Sigma\sqrt{\frac{3a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}.\frac{a}{a+b+c}}\le\Sigma\frac{3a^2}{2\left(5a^2+\left(b+c\right)^2\right)}+\frac{1}{2}$

Như vậy nó là đủ để chứng minh rằng: $\Sigma\frac{3a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}\le1$

Giả sử $c=min\left\{a,b,c\right\}$ nó tương đương:

$2\, \left( a-b \right) ^{2} \left( 3\,c+a+b \right) \left( -c+a+b \right) \left( {a}^{2}+2\,ab+{b}^{2}+5\,{c}^{2} \right) +2\,c \left( a-c \right) \left( b-c \right) \left( 3\,{a}^{3}+9\,{a}^{2}b +17\,c{a}^{2}+9\,a{b}^{2}-20\,abc+3\,{c}^{2}a+3\,{b}^{3}+17\,c{b}^{2}+ 3\,{c}^{2}b+{c}^{3} \right) \geqq 0$

(Gõ Latex, không hiện thì vô thống kê hỏi đáp xem)

Đây là điều hiển nhiên/

PS: Bài này quan trọng là ý tưởng phá căn thôi chứ không có gì khó. Lúc đầu UCT bất đẳng thức cuối cho đẹp nhưng phải xét các TH mệt lắm, chưa rành nên không làm cách đó:D

Đúng(0)

T

tth_new

7 tháng 5 2020

Chứng minh: $\Sigma\frac{3a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}\le1$, cách 2:

Đổi biến sang pqr: (Vô thống kê hỏi đáp xem nếu olm không hiện Latex)

Nếu $p^2\le4q$ ta cần:

$2/9\,p \left( 19\,{p}^{2}-36\,q \right) \left( {p}^{3}-4\,qp+9\,r \right) -4/9\, \left( {p}^{2}-3\,q \right) \left( {p}^{2}-4\,q \right) \left( 5\,{p}^{2}-3\,q \right) \geqq 0$

(Hiển nhiên)

Nếu $p^2\ge4q$ thì cần chứng minh:

$2\,p \left( 19\,{p}^{2}-36\,q \right) r+2\, \left( {p}^{2}-4\,q \right) \left( {p}^{4}-2\,{q}^{2} \right) \geqq 0$

(Hiển nhiên)

Từ 2 TH trên ta thu được điều phải chứng minh.

Đúng(0)

NH

Nguyễn Hoàng Tuấn Lâm

29 tháng 1 2020 - olm

Cho a,b,c thực dương thỏa mãn: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le2$

CMR: $\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+a^2}}\le\frac{2}{3}$

#Toán lớp 9

3

TL

Tran Le Khanh Linh

12 tháng 4 2020

với mọi x,y,z >0 ta có: $x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz};\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}$

$\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9$

$\Rightarrow\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$

đẳng thức xảy ra khi x=y=z

ta có: $5a^2+2ab+2b^2=\left(2a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2\ge\left(2a+b\right)^2$

$\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{2a+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$

đẳng thức xảy ra khi a=b

tương tự: $\frac{1}{\sqrt{5b^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{2b+c}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$

đẳng thức xảy ra khi b=c

$\frac{1}{\sqrt{5c^2+2bc+2c^2}}\le\frac{1}{2c+a}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)$

đẳng thức xảy ra khi c=a

Vậy $\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ca+2a^2}}+\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ac+2a^2}}\le\frac{1}{9}\left(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c}\right)$

$\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le\frac{2}{3}$

đẳng thức xảy ra khi a=b=c=$\frac{3}{2}$

Đúng(0)

NH

Nguyễn Hoàng Tuấn Lâm

29 tháng 1 2020

Tham khảo bài của mình

Đúng(0)

NT

Nguyễn Thu Trà

19 tháng 1 2019

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh: $\dfrac{a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}+\dfrac{b^2}{5b^2+\left(c+a\right)^2}+\dfrac{c^2}{5c^2+\left(a+b\right)^2}$

#Toán lớp 9

3

MS

Ma Sói

19 tháng 1 2019

chứng minh j bạn

Đúng(0)

N

Neet

20 tháng 1 2019

$VT=\sum\dfrac{a^2}{5a^2+b^2+c^2+2bc}=\sum\dfrac{a^2}{\left(2a^2+bc\right)+\left(2a^2+bc\right)+a^2+b^2+c^2}$

$\le\sum\dfrac{a^2}{9}\left(\dfrac{2}{2a^2+bc}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)=\dfrac{1}{9}+\sum\dfrac{2a^2}{9\left(2a^2+bc\right)}$

$=\dfrac{4}{9}-\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{bc}{2a^2+bc}+\dfrac{ac}{2b^2+ac}+\dfrac{ab}{2c^2+ab}\right)$

$\le\dfrac{4}{9}-\dfrac{1}{9}.\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\dfrac{1}{3}$

Dấu = xảy ra khi a=b=c

Đúng(0)

NH

Nguyễn Hải Quân

16 tháng 7 2019 - olm

1, Cho a,b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a/(ab+5c) + b/(bc+5a)+ c/(ca+5b )

2, giải phương trình : 5/x^2 + 2x/√(x^2+5) =1

3,Cho x,y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1. CMr : (1-x^2)/(x+yz)+(1-y^2)/(y+xz)+(1-z^2)/(z+xy) ≥6

#Toán lớp 9

0

HT

HUỲNH TÔ ÁI VÂN

31 tháng 8 2019

cho a b c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1

cmr $\sqrt{5a+1}+\sqrt{5b+1}+\sqrt{5c+1}< =2\sqrt{6}$

#Toán lớp 9

1

LT

Lê Thị Thục Hiền

31 tháng 8 2019

A=$\sqrt{5a+1}+\sqrt{5b+1}+\sqrt{5c+1}$($A\ge0$)

<=> $A^2=\left(\sqrt{5a+1}+\sqrt{5b+1}+\sqrt{5c+1}\right)^2$

Áp dụng bđt bunhiacopski có:

$\left(1.\sqrt{5a+1}+1.\sqrt{5b+1}+1.\sqrt{5c+1}\right)^2\le\left(1+1+1\right)\left(5a+1+5b+1+5c+1\right)$

<=> $A^2\le3\left(5a+5b+5c+3\right)=3.\left[5\left(a+b+c\right)+3\right]=3\left(5.1+3\right)=24$(do a+b+c=1)

<=> $A\le2\sqrt{6}$

Dấu"=" xảy ra <=> $a=b=c=\frac{1}{3}$

Vậy $A\le2\sqrt{6}$

Đúng(0)

DH

dinh huong

17 tháng 8 2021

cho a,b,c>0 .CMR $\dfrac{a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}+\dfrac{b^2}{5b^2+\left(c+a\right)^2}+\dfrac{c^2}{5c^2+\left(a+b\right)^2}\le\dfrac{1}{3}$

#Toán lớp 9

0

NM

Nguyễn Minh Huy

29 tháng 1 2020 - olm

Câu hỏi hay

Cho a,b,c thực dương thỏa mãn: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le2$

CMR: $\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}\le\frac{2}{3}$

#Toán lớp 9

3

KN

Kiệt Nguyễn

29 tháng 1 2020

Ta sẽ chứng minh: $\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9$với x,y > 0.

Thật vậy: $x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}$(bđt Cô -si)

và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}$(bđt Cô -si)

$\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9$(Dấu "="$\Leftrightarrow x=y=z$)

Ta có: $5a^2+2ab+2b^2=\left(2a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2\ge\left(2a+b\right)^2$

$\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{2a+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$

(Dấu "=" xảy ra khi a = b)

Tương tự ta có:$\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}\le\frac{1}{2b+c}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$(Dấu "=" xảy ra khi b=c)

$\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}\le\frac{1}{2c+a}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)$(Dấu "=" xảy ra khi c=a)

$VT=\text{Σ}_{cyc}\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+b^2}}\le\frac{1}{9}\left(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c}\right)$

$\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le\frac{2}{3}$

(Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{3}{2}$)

Đúng(0)

NM

Nguyễn Minh Huy

30 tháng 1 2020

Ô, thanh you, bạn 2k7 sao mà giỏi thế

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP