Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1,
\(\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\frac{2}{2}=1\left(Q.E.D\right)\)
\(VT=\frac{1}{\sqrt{abc}}\Sigma_{cyc}\left(\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{2}{\sqrt{c}}}\right)\le\frac{1}{\sqrt{abc}}\Sigma_{cyc}\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+2\sqrt{c}}{16}\right)=\frac{1}{\sqrt{abc}}\)
Dấu "=" xay ra khi \(a=b=c=\frac{16}{9}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt[6]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(c+ab\right)\left(a+bc\right)\left(b+ac\right)}}\)
Chứng minh : \(3\sqrt[6]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(c+ab\right)\left(a+bc\right)\left(b+ac\right)}}\ge3\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(c+ab\right)\left(a+bc\right)\left(b+ac\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow\left(c+ab\right)\left(a+bc\right)\le\frac{\left(c+a+ab+bc\right)^2}{4}\)
\(=\frac{\left[b\left(a+c\right)+c+a\right]^2}{4}=\frac{\left(b+1\right)^2\left(c+a\right)^2}{4}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có :
\(\Rightarrow\left(c+ab\right)^2\left(a+bc\right)^2\left(b+ac\right)^2\)
\(\le\frac{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a^2\right)\left(b+1\right)^2\left(a+1\right)^2\left(c+1\right)^2}{64}\)
\(\Rightarrow64\left(c+ab\right)^2\left(a+bc\right)^2\left(b+ac\right)^2\)
\(\le\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2\left(b+1\right)^2\left(c+1\right)^2\left(a+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow8\left(c+ab\right)\left(a+bc\right)\left(b+ac\right)\)
\(\le\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(a+1\right)\)
Cần chứng minh :
\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\le8\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\le\left(\frac{3+3}{3}\right)^3=8\left(đpcm\right)\)
Chúc bạn học tốt !!!!
Bài toán số 41 có 2 cách làm, tôi làm cách thứ 2
Đặt \(Q=\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\)\(\Rightarrow Q^2=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+2\left(\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}+\sqrt{\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\right)\)ta thấy rằng \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=\frac{1}{4}\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=\frac{x^2+y^2+z^2}{4}+\frac{xyz}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{4}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có \(\sqrt{\frac{yx}{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}}\ge\frac{2yx}{2\sqrt{\left(xy+yz\right)\left(yz+yx\right)}}\ge\frac{2xy}{2xy+yz+xz}\ge\frac{2xy}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{xy}{xy+yz+zx}\)
Tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{yz}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\ge\frac{yz}{xy+yz+zx}\\\sqrt{\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\ge\frac{xz}{xy+yz+zx}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}}+\sqrt{\frac{zx}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\ge1\)nên \(Q\ge\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{4}+2}\)
\(\Rightarrow Q\ge\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{2}+4}+\frac{4}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)
Đặt \(t=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\Rightarrow t\ge\sqrt{xy+yz+zx}=2\)
Xét hàm số g(t)=\(\sqrt{\frac{t^2}{2}+4}+\frac{4}{t}\left(t\ge2\right)\)khi đó ta có
\(g'\left(t\right)=\frac{t}{2\sqrt{\frac{t^2}{2}+4}}-\frac{4}{t^2};g'\left(t\right)=0\Leftrightarrow t^6-32t^2-256=0\Leftrightarrow t=2\sqrt{2}\)
Lập bảng biến thiên ta có min[2;\(+\infty\)) \(g\left(t\right)=g\left(2\sqrt{2}\right)=3\sqrt{2}\)
Hay minS=\(3\sqrt{2}\)<=> a=c=1; b=2
Đặt a=xc; b=cy (x;y >=1)
- Thay x=1 vào giả thiết ta có \(\sqrt{b-c}=\sqrt{b}\Rightarrow c=0\) (không thỏa mãn vì c>0)
- Thay y=1 vào giả thiết ta có \(\sqrt{a-c}=\sqrt{a}\Rightarrow c=0\)( không thỏa mãn vì c>0)
- Xét x,y>1 thay vào giả thiết ta có
\(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=\sqrt{xy}\Leftrightarrow x+y-2+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=xy\)
\(\Leftrightarrow xy-x-y+1-2\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=1\Leftrightarrow xy=x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\ge4\)
Biểu thức P được viết lại như sau
\(P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2-2xy}\)
\(P\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy+x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2-2xy}=\frac{xy}{3}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2y^2-2xy}=\frac{x^3y^3-2x^2y^2+3xy-3}{3\left(x^2y^2-2xy\right)}\)
Đặt t=xy với t>=4
Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{t^3-2t^2+3t-3}{t^2-2t}\left(t\ge4\right)\)
Ta có \(f'\left(t\right)=\frac{t^4-4t^3+t^2+6t-6}{\left(t^2-2t\right)^2}=\frac{t^3\left(t-4\right)+6\left(t-4\right)+18}{\left(t^2-2t\right)^2}>0\forall t\ge4\)
Lập bảng biến thiên ta có \(minf\left(t\right)=f\left(4\right)=\frac{41}{8}\)
Vậy \(minP=\frac{41}{24}\)khi x=y=z=2 hay a=b=2c
với x,y >0 ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Rightarrow\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)..\)
Áp dụng bất đẳng thức trên được:
\(\frac{1}{ab+a+2}=\frac{1}{\left(ab+1\right)+\left(a+1\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{a+1}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{abc}{ab+abc}+\frac{1}{a+1}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{c}{c+1}+\frac{1}{a+1}\right)\left(1\right).\)( vì abc = 1 )
Chứng minh tương tự ta được : \(\frac{1}{bc+b+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\left(2\right).\)
\(\frac{1}{ac+c+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\left(3\right).\)
Cộng vế với vế các BĐT (1), (2) và (3) ta được :
\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{1}{c+1}\right)=\frac{3}{4}.\)( đpcm )
dấu " = " xẩy ra khi a = b = c = 1
\(\text{a) }\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\left(1\right)\\ \Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\ge0\\ \Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{2\sqrt{ab}}{2}\ge0\\ \Leftrightarrow\dfrac{a+b-2\sqrt{ab}}{2}\ge0\\ \Leftrightarrow\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}\ge0\left(2\right)\)
BDT (2) luôn đúng \(\forall x\) nên BDT (1) luôn đúng \(\forall x\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}=0\\ \Leftrightarrow\sqrt{a}-\sqrt{b}=0\\ \Leftrightarrow\sqrt{a}=\sqrt{b}\\ \Leftrightarrow a=b\)
Vậy \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) đẳng thức xảy ra khi: \(a=b\)
b) Áp dụng BDT Cô-si có:
\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\\ \dfrac{a+c}{2}\ge\sqrt{ac}\\ \dfrac{b+c}{2}\ge\sqrt{bc}\\ \Rightarrow\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a+c}{2}+\dfrac{b+c}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\\ \Rightarrow\dfrac{a+b+a+c+b+c}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\\ \Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\)
Vậy \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\) đẳng thức xảy ra khi : \(a=b=c\)
b) \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+\left(b-2\sqrt{bc}+c\right)+\left(c-2\sqrt{ca}+a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\ge0\)
Vì BĐT cuối luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương nên BĐT ban đầu luôn đúng
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c\)
c) \(a+b+\frac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}\right)+\left(b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)
Vì bđt cuối luôn đúng mà các phép biến đôi trên là tương đương nên bđt ban đầu luôn đúng
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{4}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$\text{VT}=\sqrt{ab+c(a+b+c)}+\sqrt{bc+a(a+b+c)}+\sqrt{ca+b(a+b+c)}$
$=\sqrt{(c+a)(c+b)}+\sqrt{(a+b)(a+c)}+\sqrt{(b+a)(b+c)}$
$\leq \frac{c+a+c+b}{2}+\frac{a+b+a+c}{2}+\frac{b+a+b+c}{2}$
$=2(a+b+c)=2$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$