Question

[Trương Thanh Long]

Cho a, b, c \(\inℕ^∗\)và a² = b² + c². CM : abc chia hết cho 60.

Answer 1

[๖ۣۜNɦσƙ ๖ۣۜTì]

Với số tự nhiên a bất kì thì a^2 chia 3 dư 0,1 ( Xét a=3k,a=3k+1,a=3k+2 )

Áp dụng :

VT chia 3 dư 0,1,2 VP chia 3 dư 0,1.

Do đó muốn có nghiệm thì a,b không được cùng số dư là 1 khi chia cho 3

=>Tồn tại một số chia hết cho 3.

Tương tự: a^2 chia 4 dư 0,1(xét a=4k,a=4k+1,a=4k+2,a=4k+3)

=>Tồn tại một số chia hết cho 4

a^2 chia 5 dư 0,1,4(xét a=5k,...)

VT chia 5 dư 0,1,2,3,4 mà VP chia 5 dư 0,1,4

Xảy ra khi tồn tại ít nhất một số bên vế phải chia hết cho 5

=>abc chia hết cho 3x4x5=60 (đpcm)

Answer 2

[ミ★๖ۣۜSεηαbĭ ๖ۣۜTĭʂт ๖ۣۜKεү ★彡]

Giả thiết a, b, c nguyên; a² = b²+c² 

* ta biết số chính phương: n² khi chia 3 dư 0 hoặc dư 1 
từ a² = b²+c², thấy b² và c² khi chia 3 không thể cùng dư 1 
vì nếu chúng cùng dư 1 thì a² = b²+c² chia 3 dư 2 vô lí 
=> hoặc b², hoặc c² có ít nhất 1 số chia 3 dư 0 => b hoặc c chia hết cho 3 
=> abc chia hết cho 3 (1) 

* ta biết số n² chia 4 dư 0 hoặc dư 1 
nếu n chẳn => n² chia 4 dư 0 
nếu n lẻ: n = 2k+1 => (2k+1)² = 4k²+4k+1 chia 4 dư 1 

từ a² = b²+c² => b² và c² khi chia 4 không thể cùng dư 1 
vì nếu b² và c² chia 4 đều dư 1 => b²+c² = a² chia 4 dư 2 trái lí luận trên 
=> hoặc b² hoặc c² (hoặc cả 2) chia 4 dư 0, chẳn hạn b² chia 4 dư 0 
+ nếu c² chia 4 dư 0 => b và c đều chia hết cho 2 => abc chia hết cho 4 
+ nếu c² chia 4 dư 1 => a² = b²+c² chia 4 dư 1 => a, c là 2 số lẻ 
a = 2n+1 ; c = 2m+1; có: b² = a²-c² = (a-c)(a+c) = (2n-2m)(2n+2m+2) 
=> b² = 4(n-m)(n+m+1) (**) 
ta lại thấy nếu m, n cùng chẳn hoặc cùng lẻ => n-m chẳn 
nếu m, n có 1 chẳn, 1 lẻ => m+n+1 chẳn 
=> (m-n)(m+n+1) chia hết cho 2 => b² = 4(m-n)(m+n+1) chia hết cho 8 
=> b chia hết cho 4 => abc chia hết cho 4 
Tóm lại abc luôn chia hết cho 4 (2) 

* lập luận tương tự thì thấy số n² chia cho 5 chỉ có thể dư 0, 1, 4 
+ b² và c² chia 5 không thể cùng dư 1 hoặc 4 
vì nếu cùng dư 1 => b²+c² = a² chia 5 dư 2 
nếu cùng dư là 4 thì b²+c² = a² chia 5 dư 3 
đều vô lí do a² chia 5 chỉ có thể dư 0, 1 hoặc 4 
+ b² chia 5 dư 1 và c² chia 5 dư 4 (hoặc ngược lại) 
=> b²+c² = a² chia 5 dư 0 => a chia hết cho 5 (do 5 nguyên tố) 
+ nếu b² hoặc c² chia 5 dư 0 => b (hoặc c ) chia hết cho 5 
Tóm lại vẫn có abc chia hết cho 5 (3) 

Từ (1), (2), (3) => abc chia hết cho 3, 4, 5 
=> abc chia hết cho [3,4,5] = 60