Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
T đề nghị ban EDOGAWA CONAN không dùng nick k\này hỏi rồi lấy nick chính trả lời và tự tick nữa. T biết hai cậu là 1 mà không muốn nói thôi.
P/s:Nếu thế nữa t sẽ báo phynit.
Đặt : \(x=\dfrac{a+b}{a-b}\) ; \(y=\dfrac{b+c}{b-c}\) ; \(z=\dfrac{c+a}{c-a}\)
Ta có : \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=-1\)
Mà \(\left(x+y+z\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge2\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{\left(b+c\right)^2}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{\left(c+a\right)^2}{\left(c-a\right)^2}\ge2\left(đpcm\right)\)
\(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)
Câu hỏi của Không tên - Toán lớp 10 | Học trực tuyến
Câu hỏi của Hoàng Minh Nguyễn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Đặt \(x=\frac{a}{b-c};y=\frac{b}{c-a};z=\frac{c}{a-b}\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=\frac{ab}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{bc}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}+\frac{ca}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}=-1\) (Tự CM)
Ta có: \(VT=x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)\ge2\)
=> ĐPCM
Không ai thảo luận câu này sao. T khởi động trước nhá.
Ta có: \(\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right)=\dfrac{\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right).\cos\left(\dfrac{A+B}{2}\right)}{\sin\dfrac{C}{2}}\)
\(=\dfrac{\cos A+\cos B}{2\sqrt{\dfrac{1-\cos C}{2}}}=\dfrac{\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ca}}{2\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}{2}}}\)
\(=\dfrac{\dfrac{\left(a+b\right)\left(c^2-\left(a-b\right)^2\right)}{abc}}{2\sqrt{\dfrac{c^2-\left(a-b\right)^2}{ab}}}=\dfrac{\left(a+b\right)\sqrt{c^2-\left(a-b\right)^2}}{2c\sqrt{ab}}\)
Ta sẽ chứng minh: \(\dfrac{\left(a+b\right)\sqrt{c^2-\left(a-b\right)^2}}{2c\sqrt{ab}}\le\dfrac{a+b}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2abc^2}{c^2-\left(a-b\right)^2}\ge a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow2abc^2-\left(a^2+b^2\right)\left(c^2-\left(a-b\right)^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+b^2-c^2\right)\ge0\) (đúng vì tam giác ABC nhọn)
\(\Rightarrow\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right)\le\dfrac{a+b}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\left(1\right)\)
Tương tự ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\cos\left(\dfrac{B-C}{2}\right)\le\dfrac{b+c}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}}\left(2\right)\\\cos\left(\dfrac{C-A}{2}\right)\le\dfrac{c+a}{\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được ĐPCM.
Thảo luận mình là người thứ 2
Chẳng thấy đề có kết nối giữa hai đại lượng [(ABC);(a,b,c)]
gì cả --> thiếu mối liên lạc cần thiết -->đề chưa thực sự rõ rằng --->Đề có suy biến --->lời giải (nếu có) phải là lời giải biện luận theo đề--->chưa thể chấp nhận lời giải trên
BT2: Nhân 2 lên, chuyển vế, biến đổi bla..... sẽ ra đpcm
1.
Nhân 2 vế của BĐT với \(\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(3(a^2+b^2+c^2)(a+b)(b+c)(c+a)\ge(a+b+c)\left(Σ_{cyc}(a^2+b^2)(c+a)(c+b)\right)\)
\(\LeftrightarrowΣ_{perms}a^2b\left(a-b\right)^2\ge0\) *đúng*
\(\frac{a^4}{\left(a^2-b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2-c^2\right)}=\frac{a^4}{\left[\left(a-b\right)\left(a+b\right)+c^2\right]\left[\left(a-c\right)\left(a+c\right)+b^2\right]}\)
\(\frac{a^4}{\left[-c\left(a-b\right)+c^2\right]\left[-b\left(a-c\right)+b^2\right]}=\frac{a^4}{4bc\left(b+c\right)^2}=\frac{a^4}{4a^2bc}\)
Tương tự với 2 phân thức còn lại, ta cũng có : \(\frac{b^4}{b^4-\left(c^2-a^2\right)^2}=\frac{b^4}{4ab^2c};\frac{c^4}{c^4-\left(a^2-b^2\right)^2}=\frac{c^4}{4abc^2}\)
\(VT=\frac{a^4}{4a^2bc}+\frac{b^4}{4ab^2c}+\frac{c^4}{4abc^2}=\frac{a^4bc+ab^4c+abc^4}{4a^2b^2c^2}=\frac{abc\left(a^3+b^3+c^3\right)}{4a^2b^2c^2}\)
\(VT=\frac{a^3+b^3+c^3}{4abc}\)
Mà \(a+b+c=0\) nên \(a^3+b^3+c^3=3abc\) ( tự cm )
\(\Rightarrow\)\(VT=\frac{3abc}{4abc}=\frac{3}{4}\) ( đpcm )
Chúc bạn học tốt ~
BĐT đã cho tương đương với:
\(\left(\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}\right)^2-2\left[\dfrac{ab}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\dfrac{bc}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}+\dfrac{ca}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}\right]\ge2\left(\cdot\right)\).
Mặt khác ta có: \(\dfrac{ab}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\dfrac{bc}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}+\dfrac{ca}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}=\dfrac{ab\left(a-b\right)+bc\left(b-c\right)+ca\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\dfrac{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=-1\).
Do đó \(\left(\cdot\right)\Leftrightarrow\left(\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}\right)^2\ge0\) (luôn đúng).
BĐT đã cho dc c/m.