Question

[Tường Nguyễn Thế]

Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn: \(a^2+c^2=b^2+d^2\). Chứng minh rằng: a+b+c+d là hợp số

Answer 1

[Mashiro Shiina]

Ta sẽ chứng minh \(a^2+b^2+c^2+d^2\) là 1 số chẵn

Thật vậy: \(a^2+c^2=b^2+d^2\Leftrightarrow a^2+c^2+a^2+c^2=a^2+b^2+c^2+d^2\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+c^2\right)=a^2+b^2+c^2+d^2\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\) chẵn:

Xét hiệu: \(a^2+b^2+c^2+d^2-a-b-c-d=a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+d\left(d-1\right)\) (Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp) là 1 số chẵn

Mà \(a^2+b^2+c^2+d^2\) chẵn \(\Rightarrow a+b+c+d\) chẵn. Mà \(a+b+c+d>2\)

Vậy \(a+b+c+d\) là hợp số

Answer 2

[Trần Đăng Nhất]

Theo hằng đẳng thức
\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\);
$c^2+d^2=(c+d)^2-2cd$.
Suy ra $a^2+b^2$ và $a+b$ cùng chẵn, hoặc cùng lẻ;
$c^2+d^2$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Kết hợp với
$a^2+b^2=c^2+d^2$ ta suy ra $a+b$ và $c+d$ cùng chẵn,
hoặc cùng lẻ. Từ đó $a+b+c+d$ chẵn, và vì
\(a+b+c+d\ge4\) nên $a+b+c+d$ là hợp số.