Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Mình sẽ chứng minh bằng biến đổi tương đương nhé :)
\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{4}-ab+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ac+c^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ad+d^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ae+e^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b\right)^2+\left(\frac{a}{2}-c\right)^2+\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\left(\frac{a}{2}-e\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Vì BĐT cuối luôn đúng nên BĐT ban đầu được chứng minh.
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=1\)
Bài 2:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge4\sqrt[4]{a^2b^2c^2d^2}=4\) (1)
\(ab+cd\ge2\sqrt{abcd}=2\) (2)
\(ac+bd\ge2\sqrt{acbd}=2\) (3)
\(ad+bc\ge2\sqrt{adbc}=2\) (4)
Cộng theo vế của (1),(2),(3),(4) ta có điều phải chứng minh
Dấu "=" khi \(\begin{cases}a=b=c=d\\abcd=1\end{cases}\)\(\Rightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}\)
1) \(x+\frac{1}{x}\ge2\left(1\right)\)
<=> \(\frac{x^2+1}{x}\ge2\)
<=> x2 + 1 \(\ge\)2x
<=> x2 + 1 - 2x \(\ge\) 0
<=> (x - 1)2 \(\ge\)0 (2)
Bđt (2) đúng vậy bđt (1) được chứng minh
b) Áp dụng bđt AM-GM cho 10 số dương ta có:
a2+b2+c2+d2+ab+ac+ad+bc+bd+cd
\(\ge10\sqrt[10]{a^2.b^2.c^2.d^2.ab.ac.ad.bc.bd.cd}=10\sqrt[10]{\left(a.b.c.d\right)^5}\)
\(=10\sqrt[10]{1}=10\left(đpcm\right)\)
a) a2+b2-2ab=(a-b)2>=0
b) \(\frac{a^2+b^2}{2}\)\(\ge\)ab <=> \(\frac{a^2+b^2}{2}\)-ab\(\ge\)0 <=> \(\frac{\left(a-b\right)^2}{2}\)\(\ge\)0 (ĐPCM)
c) a2+2a < (a+1)2=a2+2a+1 (ĐPCM)
\(a,\left(a+b\right)^2\ge4ab\\ \Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\\ \Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)
Do đó \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)(đpcm)
Các câu sau tương tự
Câu 4 :
Ta có : a+b+c=0
=> a+b=-c
Lại có : a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)
=> a3+b3+c3=(a+b)3-3ab(a+b)+c3
=-c3-3ab. (-c)+c3
=3abc
Vậy a3+b3+c3=3abc với a+b+c=0
cau 1 ne:
a^2 + b^2 + c^2 + 3
theo bat dang thuc cosi ban se co
a^2 + a + 1 >= 3a
b^2 + b + 1 >= 3b
c^2 + c + 1 >= 3c
cong 3 ve bat dang thuc lai voi nhau ban se co
a^2 + b^2 + c^2 + (a + b + c) + 3>= 3(a + b + c)
=> a^2 + b^2 + c^2 + 3 >= 2(a + b + c)
dau = xay ra <=> a= b= c = 1
ma theo de bai ta lai co a^2 + b^2 + c^2 + 3 = 2(a + b + c)
=> a = b = c = 1 (dpcm)
b) (a - b)^2 + (b-c)^2 + (c - a)^2 = (a + b - 2c)^2 + (b + c - 2a)^2 + (c + a - 2b)^2
hay (a + b - 2b)^2 + (b + c - 2c)^2 + (c + a - 2a)^2 = (a + b - 2c)^2 + (b + c - 2a)^2 + (c + a - 2b)^2
dat. a + b = A
b + c = B
c + a = C
=> ban se co:
(A - 2b)^2 + (B - 2c)^2 + (C - 2a)^2 = (A - 2c)^2 + (B - 2a)^2 + (C - 2b)^2
tu day ban nhan pha ra roi rut gon 2 ve cho nhau ban se co
Ab + Bc + Ca = Ac + Ba + Cb
hay (a + b)b + (b + c)c + (c + a)a = (a + b)c + (b + c)a + (c + a)b
hay ab + b^2 + bc + c^2 + ac + a^2 = 2ab + 2bc + 2ac
hay a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac = 0
hay 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac = 0
hay (a-b)^2 + (b-c)^2 +(c - a)^2 = 0
dau = xay ra <=> a = b = c (dpcm)
c) a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = (a + b)(a^2 -ab +b^2) + (c+d)(c^2 - cd + d^2) (**)
ban nhan thay a + b + c + d = 0
=> a + b = - c - d
thay vao pt (**) ban se co
-(c + d)(a^2 - ab + b^2) + (c + d)(c^2 - cd + d^2)
(c + d)(c^2 - cd + d^2 -a^2 + ab - b^2)
hay (c + d)(ab - cd + (c^2 + d^2 - a^2 - b^2)) (***)
ban co a + b = - c - d
hay (a + b)^2 = (c + d)^2
hay a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + d^2 + 2cd
hay c^2 + d^2 - a^2 - b^2 = 2ab - 2cd
thay vao pt (***) ban se co
(c + d)(ab - cd + 2ab - 2cd)
hay (c +d)(3ab - 3cd) = 3(c+d)(ab - cd) (dpcm)
a) Ta có: (a + b + c + d)(a - b - c +d )=( (a + d) + (b + c) )( (a + d) - (b + c) )
=(a + d )2 - (b +c )2 (1)
(a - b + c - d)(a + b - c - d)=(a - d)2 - (b - c)2 (2)
Từ (1) và (2) => a2 + 2ad + d2 - b2 - 2bc - c2=a2 - 2ad + d2 - b2 + 2bc - c2
4ad=4bc => ad=bc <=> \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\) (đpcm)
a2+b2+c2=ab+ac+bc
<=>2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc
<=>a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc=0
<=>(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0
<=>a-b=0 và a-c=0 và b-c=0
<=>a=b=c