Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì a;b;c là 3 cạnh của tam giác nên mỗi nhân tử của VP đều dương,áp dụng bđt Cauchy:
\(\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}\le\frac{a+b-c+b+c-a}{2}=b\)
\(\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}\le\frac{b+c-a+a+c-b}{2}=c\)
\(\sqrt{\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}\le\frac{a+c-b+a+b-c}{2}=a\)
Nhân theo vế => ddpcm "=" khi a=b=c
Áp dụng bất đẳng thức : \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)(Có thể chứng minh bằng biến đổi tương đương)
được: \(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)(1)
Thay \(a+b=2-c\)và \(a^2+b^2=2-c^2\)vào (1) được:
\(2\left(2-c^2\right)\ge\left(2-c\right)^2\Leftrightarrow4-2c^2\ge4-4c+c^2\Leftrightarrow3c^2-4c\le0\)
Giải ra được \(0\le c\le\frac{4}{3}\)
Tương tự với a,b ta suy ra được điều phải chứng minh.
\(VT=a^2+b^2+c^2+d^2-2\left(a+c\right)\left(b+d\right)\)
\(VT\ge\frac{1}{4}\left(a+b+c+d\right)^2-\frac{1}{2}\left(a+b+c+d\right)^2=-\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d=\frac{1}{4}\)
từ cái điều kiện đầu=>a;b;c;d<(=)2
=>a4(2-a)+b4(2-b)+c4(2-c)+d4(2-d)>(=)0
<=>2a2+2b4+2c4+2d4>(=)a5+b5+c5+d5
<=>32>(=)a5+b5+c5+d5(đpcm)
dấu bằng khi 1 trong 4 số =2