TN
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
QB
Cho a ,b ,c ,d > 0 Chứng minh rằng : \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge2\)
1
KK
31 tháng 1 2017
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{ab}\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\) với a , b > 0 ta có :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{c}{d+a}=\frac{a\left(d+a\right)+c\left(b+c\right)}{\left(b+c\right)\left(d+a\right)}=\frac{ad+a^2+bc+c^2}{\left(b+c\right)\left(d+a\right)}\ge\frac{4\left(ad+a^2+bc+c^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\) ( 1 )
\(\frac{b}{c+d}+\frac{d}{a+b}=\frac{b\left(a+b\right)+d\left(c+d\right)}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}=\frac{ab+b^2+cd+d^2}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}\ge\frac{4\left(ab+b^2+cd+d^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) cộng theo từng vế:
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge\frac{4\left(ab+bc+cd+ad+a^2+b^2+c^2+d^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)
Cần chứng minh rằng \(\frac{\left(ab+bc+cd+ad+a^2+b^2+c^2+d^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\ge\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+cd+ad+a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2\)
\(\Rightarrow2ab+2bc+2cd+2ad+2a^2+2b^2+2c^2+2d^2\ge a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2cd+2bd\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge2ac+2bd\)
\(\Rightarrow a^2-2ac+c^2+b^2-2bd+d^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-c\right)^2+\left(b-d\right)^2\ge0\left(đpcm\right)\)
Vậy \(\frac{ab+bc+cd+ad+a^2+b^2+c^2+d^2}{\left(a+b+c+d\right)^2}\ge\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{4\left(ab+bc+cd+ad+a^2+b^2+c^2+d^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\ge2\)
Vì \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge\frac{4\left(ab+bc+cd+ad+a^2+b^2+c^2+d^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)
Vậy \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge2\)
OK
2
M
29 tháng 10 2017
BĐT nesbit với n=4.
chứng minh nó ko hề khó đâu:
đặt VT =A đi .thì sử dụng BĐT bunhiacopxki ta có:
A[a(b+c)+b(c+d)+c(d+a)+d(a+b)]
>=(a+b+c+d)^2
giờ ta chỉ cần chứng minh:
(a+b+c+d)^2>=2a(b+c)+b(c+d)+c(d+a)+d(a...
điều này <=> với:a^2+b^2+c^2+d^2>=2ac+2bd.
diều này là hiển nhiên theo BĐT cô-si=>đpcm.MinA=2.
6 tháng 4 2020
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\left(x;y>0\right)\)
\(\frac{a}{b+c}+\frac{c}{d+a}=\frac{a^2+ad+bc+c^2}{\left(b+c\right)\left(a+d\right)}\ge\frac{4\left(a^2+ad++bc+c^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\left(1\right)\)
Tương tự \(\frac{b}{c+b}+\frac{d}{a+b}\ge\frac{4\left(b^2+ab+cd+d^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\left(2\right)\)
Cộng (1) với (2) \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge\frac{4\left(a^2+b^2+c^2+d^2+ad+bc+ab+cd\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}=\text{4B}\)
Cần chứng minh \(B\ge\frac{1}{2}\), BDDT này tương đương với
\(2B\ge1\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2+d^2+ad+bc+ab+cd\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)^2+\left(b-d\right)^2\ge0\)
PN
Cho a ,b ,c ,d > 0 Chứng minh rằng : \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge2\)
4
5 tháng 2 2020
Áp dụng BĐT bunhiacopxki cho 2 bộ số \(\left(\sqrt{a}.\sqrt{b+c};\sqrt{b}.\sqrt{d+c};\sqrt{c}.\sqrt{d+a};\sqrt{d}.\sqrt{a+b}\right)\)
và \(\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}};\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{d+c}};\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{d+a}};\frac{\sqrt{d}}{\sqrt{a+b}}\right)\), ta được:
\(\left[a\left(b+c\right)+b\left(d+c\right)+c\left(d+a\right)+d\left(a+b\right)\right]\)\(\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{d+c}+\frac{c}{a+d}+\frac{d}{a+b}\right)\)\(\ge\left(a+b+c+d\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{d+c}+\frac{c}{a+d}+\frac{d}{a+b}\)\(\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{ab+ac+bd+bc+cd+ac+ad+bd}\)(1)
Ta có \(\left(a+b+c+d\right)^2\ge2\left(ab+ac+bc+bd+cd+ac+ad+bd\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)^2+\left(b-d\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Do đó: \(\left(a+b+c+d\right)^2\ge2\left(ab+ac+bc+bd+cd+ac+ad+bd\right)\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=d
5 tháng 2 2020
Áp dụng BĐT : \(\frac{1}{xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)với x,y > 0
Ta có : \(\frac{a}{b+c}+\frac{c}{d+a}=\frac{a^2+ad+bc+c^2}{\left(b+c\right)\left(a+d\right)}\ge\frac{4\left(a^2+ad+bc+c^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)
Tương tự : \(\frac{b}{c+d}+\frac{d}{a+b}\ge\frac{4\left(b^2+ab+cd+d^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge\frac{4\left(a^2+b^2+c^2+d^2+ad+bc+ab+cd\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)
Cần chứng minh : \(\frac{a^2+b^2+c^2+d^2+ad+bc+ab+cd}{\left(a+b+c+d\right)^2}\ge\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2+d^2+ad+bc+ab+cd\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)^2+\left(b-d\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi a = c ; b = d
Vậy ....
10 tháng 10 2019
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz dạng Engel và BĐT AM - GM ta có :
\(M=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\)
\(=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+bd}+\frac{c^2}{cd+ac}+\frac{d^2}{ad+bd}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{ad+bc+cd+ab+2ac+2bd}\)
\(=\frac{2\left(a+b+c+d\right)^2}{\left(2ad+2bc+2cd+2ab+2ac+2bd\right)+2ac+2bd}\)
\(\ge\frac{2\left(a+b+c+d\right)^2}{\left(2ad+2bc+2cd+2ab+2ac+2bd\right)+a^2+b^2+c^2+^2}\)
\(=\frac{2\left(a+b+c+d\right)^2}{\left(a+b+c+d\right)^2}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = d
Chúc bạn học tốt !!!
10 tháng 10 2019
Xét M= \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{a+d}+\frac{d}{a+b}\)
=\(\frac{a\left(a+d\right)+c\left(b+c\right)}{\left(a+d\right)\left(b+c\right)}+\frac{b\left(a+b\right)+d\left(c+d\right)}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}\)
Với x,y>0 có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
<=>\(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
<=>\(\frac{1}{xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)(1) .Dấu "=" xảy ra <=>x=y>0
Áp dụng bđt (1) có:
\(\frac{a\left(a+d\right)+c\left(b+c\right)}{\left(a+d\right)\left(b+c\right)}\ge\frac{4\left(a^2+ad+bc+c^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)
\(\frac{b\left(a+b\right)+d\left(c+d\right)}{\left(c+d\right)\left(a+b\right)}\ge\frac{4\left(ab+b^2+dc+d^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)
Cộng vế với vế có: \(M\ge\frac{4\left(a^2+ad+bc+c^2+ab+b^2+dc+d^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)
Có \(2\left(a^2+b^2+c^2+d^2+ad+bc+ab+cd\right)-\left(a+b+c+d\right)^2\)
=\(a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2db=\left(a-c\right)^2+\left(b-d\right)^2\ge0\)
=>\(2\left(a^2+b^2+c^2+d^2+ad+bc+ab+cd\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2\)
<=>\(\frac{4\left(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+bc+cd+ad\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\ge2\)
hay \(M\ge2\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=d>0
16 tháng 8 2018
Ta có: \(\frac{a^4}{c}+\frac{b^4}{d}\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{c+d}=\frac{1}{c+d}\)
Dấu = xảy ra khi \(\frac{a^2}{c}=\frac{b^2}{d}\)
Do đó: \(VT=\frac{a^2}{c}+\frac{b}{d^2}=\frac{d^2}{b}+\frac{b}{d^2}\ge2\sqrt{\frac{d^2}{b}.\frac{b}{d^2}}=2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 11 2019
1/ Ta có \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(a^3-a^2b+b^3-ab^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng)
\(\Rightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b\right)+abc=ab\left(a+b+c\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
2/ \(P=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+bd}+\frac{c^2}{cd+ca}+\frac{d^2}{ad+bd}\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{2ac+2bd+ab+bc+cd+ad}\)
\(P\ge\frac{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2+2\left(a+c\right)\left(b+d\right)}{2ac+2bd+ab+bc+cd+ad}\)
\(P\ge\frac{4ac+4bd+2ab+2bc+2cd+2ad}{2ac+2bd+ab+bc+cd+ad}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 11 2019
Đơn giản là Cauhy-Schwarz thôi mà
Từ dòng 1 xuống dòng 2 thì khai triển hẳng đẳng thức ở tử số \(\left(x+y\right)^2=x^2+y^2+2xy\) với \(x=a+c\) và \(y=b+d\)
28 tháng 12 2015
\(VT^2\ge\left(1+1+1+1\right)\left(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{d+a+b}+\frac{d}{b+a+c}\right)\ge4.1=4\)
=> VT >/ 2
Dễ CM được \(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{d+a+b}+\frac{d}{b+a+c}\ge1\)
28 tháng 12 2015
\(\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}+\frac{b}{\sqrt{b\left(c+d+a\right)}}+\frac{c}{\sqrt{c\left(d+a+b\right)}}+\frac{d}{\sqrt{d\left(a+b+c\right)}}\)
\(\ge\frac{a}{\frac{a+b+c+d}{2}}+\frac{b}{\frac{b+c+d+a}{2}}+\frac{c}{\frac{a+b+c+d}{2}}+\frac{d}{\frac{a+b+c+d}{2}}=2\)
Dấu '' = '' xảy ra khi a = b + c+ d
b = c+d+a
c = b+a+d
d = a+b+c
Hình như ko có a ; b; c ;d