MM
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NH
1
17 tháng 4 2019
\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(đung)
CD
3
16 tháng 4 2019
Ta chứng minh \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (Đúng)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
Giải chi tiết cho dễ hiểu
17 tháng 4 2019
Cách khác nè:
Áp dụng BĐT bun-hia-cop-xki ta có:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\left(đpcm\right)\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=1\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}}\)
CC
1
NN
7 tháng 4 2019
Ta chứng minh:
a2 + b2 + c2 \(\ge\) ab + bc + ac
Nhân cả 2 vế với 2 ta được :
= 2a2 + 2b2 + 2c2 \(\ge\) 2ab + 2bc + 2ac
= 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ac \(\ge0\)
= ( a2 - 2ab + b2 ) + ( b2 - 2bc + c2 ) + ( a2 - 2ac + c2 ) \(\ge0\)
= ( a - b )2 + ( b - c)2 + ( a - c )2 \(\ge0\) ( luôn đúng )
\(\Rightarrow\)a2 + b2 + c2 \(\ge\)ab + bc + ac
Ta có : a2 + b2 + c2 \(\ge\)ab + bc + ac
Nhân cả 2 vế với 2 ta được :
2 ( a2 + b2 + c2 ) \(\ge\) 2 ( ab + bc + ac )
Cộng cả 2 vế với : a2 + b2 + c2 ta được :
3 ( a2 + b2 + c2 ) \(\ge\) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
3 ( a2 + b2 + c2 ) \(\ge\) ( a + b + c )2
3 ( a2 + b2 + c2 ) \(\ge\)1
a2 + b2 + c2 \(\ge\)\(\frac{1}{3}\) ( đpcm)
TT
23 tháng 9 2020
Áp dụng cách đánh giá quen thuộc
\(3\left(\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}\right)\ge\left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}\right)^2\)
Hay \(\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}\)
Ta cần chỉ ra được \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
Ta đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, Cần chú ý đến \(a^2+b^2+c^2\). Ta được
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}=\frac{a^4}{a^2b}+\frac{b^4}{b^2c}+\frac{c^4}{c^2a}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\)
Ta cần chứng minh được
\(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\ge\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
Hay \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2\)
Dễ thấy \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
Do đó \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\ge3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki
\(\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2\)
Do đó ta được \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2\)
Bài toán được chứng minh :3
26 tháng 11 2020
Tự nhiên lục được cái này :'(
3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{b+c-a+c+a-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
Cộng theo vế ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
8 tháng 6 2020
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(abc\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3=1\)
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2c^2}}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^3b^3c^3}}=\frac{3}{abc}\)
Ta chứng minh: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\frac{3}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}\le\frac{3}{abc}\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le3=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)(luôn đúng)
Vậy bđt được chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
9 tháng 6 2020
Dòng thứ 3 của Linh bị ngược dấu rồi.
Chứng minh các khác:
Có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=3\) (@)
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}\)(1)
Ta chứng minh: \(\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)(2)
<=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\)đúng theo (@)
=> (2) đúng
Từ (1) ; (2) => \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1.
DH
24 tháng 4 2020
Định đi ngủ mà chợt nhớ lúc chiều có hứa là làm giúp chủ tus nên h phải làm =)))
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 4 2020
\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự: \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\) ; \(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ac}{2}\)
Cộng vế với vế:
\(VT\ge a+b+c-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\ge3-\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2=3-\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
T
10 tháng 1 2019
Ta có: \(\frac{a}{1+b^2}=a\left(\frac{1}{1+b^2}\right)=a\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\)
Theo Cô si: \(1+b^2\ge2\sqrt{1b^2}=2b\)
Nên \(\frac{a}{1+b^2}\ge a\left(1-\frac{b^2}{2b}\right)=a\left(1-\frac{b}{2}\right)=a\left(\frac{2-b}{2}\right)=\frac{2a-ab}{2}\)
Thiết lập 2 BĐT tương tự và cộng theo vế suy ra:
\(VT\ge\frac{2a-ab}{2}+\frac{2b-bc}{2}+\frac{2c-ca}{2}\)
\(=\frac{2\left(a+b+c\right)-\left(ab+bc+ca\right)}{2}\)\(=3-\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Ta có BĐT \(3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2\Rightarrow ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\) (tự c/m,không làm được ib)
Suy ra \(VT\ge3-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge3-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2}=3-\frac{\left(\frac{9}{3}\right)}{2}=\frac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=3\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Áp dụng BĐT Bunhicopxki:
\(\left(1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)
Suy ra \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}^{\left(đpcm\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)