Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho a, b, c > 25/4, tìm GTNN của biểu thức: M=\(\dfrac{a}{2\sqrt{b}-5}+\dfrac{b}{2\sqrt{c}-5}+\dfrac{c}{2\sqrt{a}-5}\)
Nguyễn Việt Lâm DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG Mysterious Person help
Do \(a,b,c>\dfrac{25}{4}\Rightarrow\) các mẫu số đều dương
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(M\ge3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{\left(2\sqrt{b}-5\right)\left(2\sqrt{c}-5\right)\left(2\sqrt{a}-5\right)}}\)
\(\Rightarrow M\ge3\sqrt[3]{\dfrac{5^3.abc}{5\left(2\sqrt{b}-5\right).5\left(2\sqrt{c}-5\right).5\left(2\sqrt{a}-5\right)}}\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}5\left(2\sqrt{a}-5\right)\le\dfrac{\left(5+2\sqrt{a}-5\right)^2}{4}=a\\5\left(2\sqrt{b}-5\right)\le\dfrac{\left(5+2\sqrt{b}-5\right)^2}{4}=b\\5\left(2\sqrt{c}-5\right)\le\dfrac{\left(5+2\sqrt{c}-5\right)^2}{4}=c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow M\ge3\sqrt[3]{\dfrac{5^3.abc}{abc}}=3.5=15\)
\(\Rightarrow M_{min}=15\) khi \(a=b=c=25\)
Bạn áp dụng BĐT \(xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y
Hơn nữa, cũng áp dụng để tìm dấu "=" cuối bài, ta có \(5=2\sqrt{a}-5\Rightarrow2\sqrt{a}=10\Rightarrow a=25\), đó là lý do tại sao biết đẳng thức xảy ra tại a=b=c=25