Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(VP=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ac}\)\(\left(a,b,c\ne0\right)\)
\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2a+2b+2c}{abc}\)
\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2.\left(a+b+c\right)}{abc}\)\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+0=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=VT\)
Vậy đẳng thức được chứng minh
1) ta có: a(b^2 -1)(c^2 -1)+b(a^2 -1)(c^2 -1)+c(a^2-1)(b^2-1)
=(ab^2 -a)(c^2-1)+(ba^2 -b)(c^2-1)+(ca^2-c)(b^2-1)
đén đây nhân bung ra hết rồi rút gọn và thay a+b+c=abc là đc
Ta có : \(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Đánh giá tương tự , ta cũng có :
\(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2},\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ab}{2}\)
Từ đó suy ra :
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\frac{ab+bc+c}{2}=3-\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Mặt khác ,ta biết rằng \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3.\)Từ đây ,kết hợp với đánh giá ở trên ,ta có kết quả cần chứng minh.
\(Ta\)\(có\) \(\frac{a}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{1+b^2}\)
Áp dụng bất đẳng thức \(a^2+b^2\ge2ab\)ta có
\(a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Chứng minh tương tụ với \(\frac{b}{1+c^2};\frac{c}{1+a^2}\)ta được
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ac}{2}\) \(\left(1\right)\)
Mặt khác ta có :
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(Hay\)\(3^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le3\)\(\left(2\right)\)
\(Từ\)\(\left(1\right)\)\(\left(2\right)\)\(\Rightarrow\)\(a+b+c-\frac{ab+bc+ac}{2}\)\(\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)\(\left(3\right)\)
\(Từ\)\(\left(1\right)\)\(\left(3\right)\)\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\left(đpcm\right)\)
Ta có:
a+b+c=1
\(\Rightarrow\)\(a^2+b^2+c^2\)
Đề hơi kỳ cục đó
\(\frac{a}{1}+\frac{b}{1}+\frac{c}{1}=0\Rightarrow1\left(a+b+c\right)=a+b+c=0\)
mà bn cho gt là a+b+c = 1 là sao thế Thanh Quốc