K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
13 tháng 5 2020

\(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6\)

Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z+xy+yz+zx=6\)

Ta cần chứng minh: \(x^2+y^2+z^2\ge3\)

Thật vậy:

\(x^2+1+y^2+1+z^2+1\ge2x+2y+2z\)

\(2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)

Cộng vế với vế:

\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge12\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;1\right)\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;1\right)\)

NV
12 tháng 5 2019

\(a+b+c+ab+ac+bc=6abc\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{a}=x\\\frac{1}{b}=y\\\frac{1}{c}=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+y+z+xy+xz+yz=6\)

Cần chứng minh \(P=x^2+y^2+z^2\ge3\)

Ta có các BĐT quen thuộc:

\(x^2+1\ge2x\) ; \(y^2+1\ge2y\); \(z^2+1\ge2z\)

\(2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2xz+2yz\)

Cộng vế với vế:

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+xz+yz\right)=12\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)

17 tháng 11 2017

chịu??? tớ chưa học đến?

10 tháng 4 2019

Ê,

Why?

bạn ý cũng đưa câu hỏi lên thui mà 

Giúp mình với! Mình đang cần gấp. Các bạn làm được bài nào thì giúp đỡ mình nhé! Cảm ơn!Bài 1: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:\(\frac{a^2}{\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{\left(2b^2+c^2\right)\left(2b^2+a^2\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{\left(2c^2+a^2\right)\left(2c^2+b^2\right)}}\le1\).Bài 2: Cho các số thực dương a,b,c,d. Chứng minh...
Đọc tiếp

Giúp mình với! Mình đang cần gấp. Các bạn làm được bài nào thì giúp đỡ mình nhé! Cảm ơn!

Bài 1: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:

\(\frac{a^2}{\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{\left(2b^2+c^2\right)\left(2b^2+a^2\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{\left(2c^2+a^2\right)\left(2c^2+b^2\right)}}\le1\).

Bài 2: Cho các số thực dương a,b,c,d. Chứng minh rằng:

\(\frac{a-b}{a+2b+c}+\frac{b-c}{b+2c+d}+\frac{c-d}{c+2d+a}+\frac{d-a}{d+2a+b}\ge0\).

Bài 3: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:

\(\frac{\sqrt{b+c}}{a}+\frac{\sqrt{c+a}}{b}+\frac{\sqrt{a+b}}{c}\ge\frac{4\left(a+b+c\right)}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\).

Bài 4:Cho a,b,c>0, a+b+c=3. Chứng minh rằng: 

a)\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge1\).

b)\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge\frac{3}{2}\).

c)\(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge3\).

Bài 5: Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng:

\(\frac{2a^2+ab}{\left(b+c+\sqrt{ca}\right)^2}+\frac{2b^2+bc}{\left(c+a+\sqrt{ab}\right)^2}+\frac{2c^2+ca}{\left(a+b+\sqrt{bc}\right)^2}\ge1\).

8
21 tháng 10 2019

1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)

\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\)  (1) 

áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2\(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)

(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\)   <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\)  ( vậy (1) đúng)

dấu '=' khi a=b=c

21 tháng 10 2019

4b, \(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}=1-\frac{ab^2}{a^2+b^2}+1-\frac{bc^2}{b^2+c^2}+1-\frac{ca^2}{a^2+c^2}\)

\(\ge3-\frac{ab^2}{2ab}-\frac{bc^2}{2bc}-\frac{ca^2}{2ac}=3-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=\frac{3}{2}\)

5 tháng 4 2017

a) đề thiếu òi bạn à            

22 tháng 6 2021

vì \(a+b+c=1\)

\(< =>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\)

\(=3+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c}+\frac{a}{c}\)

\(=3+\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{b^2+c^2}{bc}+\frac{c^2+a^2}{ca}\)

ta có pt:

\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ca}{c^2+a^2}+\frac{1}{4}\left(3+\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{b^2+c^2}{bc}+\frac{c^2+a^2}{ca}\right)\)

\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ca}{c^2+a^2}+\frac{3}{4}+\frac{a^2+b^2}{4ab}+\frac{b^2+c^2}{4bc}+\frac{c^2+a^2}{4ca}\)

áp dụng bđt cô- si( cauchy) gọi pt là P 

\(P\ge2\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}\frac{a^2+b^2}{4ab}}+2\sqrt{\frac{bc}{b^2+c^2}\frac{b^2+c^2}{4bc}}+2\sqrt{\frac{ca}{c^2+a^2}\frac{c^2+a^2}{4ca}}+\frac{3}{4}\)

\(P\ge2\sqrt{\frac{1}{4}}+2\sqrt{\frac{1}{4}}+2\sqrt{\frac{1}{4}}+\frac{3}{4}\)

\(P\ge2.\frac{1}{2}+2.\frac{1}{2}+2.\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\)

\(P\ge1+1+1+\frac{3}{4}=\frac{15}{4}\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

<=>ĐPCM

AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 8

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$a^3+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\geq 3\sqrt{a}$

$b^3+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\geq 3\sqrt{b}$

$c^3+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\geq 3\sqrt{c}$

Cộng theo vế các BĐT trên và thu gọn thì:
$a^3+b^3+c^3+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 3(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$

Giờ ta chỉ cần cm: $3(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 3(ab+bc+ac)$ thì bài toán hoàn thành.

Thật vậy:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\sqrt{a}+\sqrt{a}+a^2\geq 3a$

$\sqrt{b}+\sqrt{b}+b^2\geq 3b$

$\sqrt{c}+\sqrt{c}+c^2\geq 3c$
Cộng 3 BĐT trên lại theo vế và thu gọn:

$a^2+b^2+c^2+2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 3(a+b+c)=(a+b+c)^2$

$\Rightarrow 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 2(ab+bc+ac)$
$\Rightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ac$

$\Rightarrow 3(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 3(ab+bc+ac)$

(đpcm)

Bài toán hoàn thành.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

12 tháng 8 2017

Bài 1 với bài 2 như nhau, đăng làm gì cho tốn công :))

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b\)

\(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{ca}{b}}=2a\)

\(\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ac}{b}.\frac{bc}{a}}=2c\)

Cộng vế với vế ta được :

\(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)(đpcm)