Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Để ý: \(ab+bc+ca=\frac{\left[\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)\right]}{2}\).
Do đó đặt \(a^2+b^2+c^2=x>0;a+b+c=y>0\). Bài toán được viết lại thành:
Cho \(y^2+5x=24\), tìm max:
\(P=\frac{x}{y}+\frac{y^2-x}{2}=\frac{5x}{5y}+\frac{y^2-x}{2}\)
\(=\frac{24-y^2}{5y}+\frac{y^2-\frac{24-y^2}{5}}{2}\)
\(=\frac{24-y^2}{5y}+\frac{3\left(y^2-4\right)}{5}\)\(=\frac{3y^3-y^2-12y+24}{5y}\)
Đặt \(y=t\). Dễ thấy \(12=3\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(ab+bc+ca\right)=3t^2-5\left(ab+bc+ca\right)\)
Và dễ dàng chứng minh \(ab+bc+ca\le3\)
Suy ra \(3t^2=12+5\left(ab+bc+ca\right)\le27\Rightarrow t\le3\). Mặt khác do a, b, c>0 do đó \(0< t\le3\).
Ta cần tìm Max P với \(P=\frac{3t^3-t^2-12t+24}{5t}\)và \(0< t\le3\)
Ta thấy khi t tăng thì P tăng. Do đó P đạt giá trị lớn nhất khi t lớn nhất.
Khi đó P = 3. Vậy...
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
\(1,\hept{\begin{cases}10x^2+5y^2-2xy-38x-6y+41=0\left(1\right)\\3x^2-2y^2+5xy-17x-6y+20=0\left(2\right)\end{cases}}\)
Giải (1) : \(10x^2+5y^2-2xy-38x-6y+41=0\)
\(\Leftrightarrow10x^2-2x\left(y+19\right)+5y^2-6y+41=0\)
Coi pt trên là pt bậc 2 ẩn x
Có \(\Delta'=\left(y+19\right)^2-50y^2+60y-410\)
\(=-49y^2+98y-49\)
\(=-49\left(y-1\right)^2\)
pt có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\)
\(\Leftrightarrow-49\left(y-1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow y=1\)
Thế vào pt (2) được x = 2
\(2,\)Đặt\(\left(a\sqrt{a};b\sqrt{b};c\sqrt{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\left(x,y,z>0\right)\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=1\)
Khi đó \(P=\frac{x^4}{x^2+y^2}+\frac{y^4}{y^2+z^2}+\frac{z^4}{x^2+z^2}\)
Áp dụng bđt \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\left(x;y;z>0\right)\left(Cauchy-engel-type_3\right)\)được
\(P\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\)
Áp dụng bđt x2 + y2 + z2 > xy + yz + zx (tự chứng minh) ta được
\(P\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\ge\frac{xy+yz+zx}{2}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xy+yz+zx=1\\x=y=z\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^3}=\sqrt{b^3}=\sqrt{c^3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Leftrightarrow a^3=b^3=c^3=\frac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)
Vậy \(P_{min}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)
Mình biết giải rồi ko bt đúg ko nha
Ta có vế phải
Mình ko bt viết dấu căng
Căng a bình +1 căng b bình + 1 + căng c bình + 1
Vì a, b,c > 0
Đưa ra ngoài dấu căng ta sẽ đc
a×1 + b×1 +c× 1
Ta có chắc chắn rằng a + b + c ≤ 2(a+b+c)
Vậy viết lại cái đề
Bạn cũng có thể biến đổi vế trái nha
Áp dụng bđt : x^2+y^2+z^2 >= (x+y+z)^2/3 ta có :
\(\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}\)= \(\frac{\sqrt{a^2+b^2+a^2}}{ab}\)>= \(\frac{\sqrt{\frac{\left(a+b+a\right)^2}{3}}}{ab}\) = \(\frac{2a+b}{\sqrt{3}ab}\) = \(\frac{2}{\sqrt{3}b}+\frac{1}{\sqrt{3}a}\)
Tương tự : \(\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}\)>= \(\frac{2}{\sqrt{3}c}+\frac{1}{\sqrt{3}b}\) ; \(\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\)>= \(\frac{2}{\sqrt{3}a}+\frac{1}{\sqrt{3}c}\)
=> \(\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}\)+ \(\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}\)+ \(\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\)>= \(\frac{3}{\sqrt{3}a}+\frac{3}{\sqrt{3}b}+\frac{3}{\sqrt{3}c}\)
= \(\frac{3}{\sqrt{3}}\).(1/a+1/b+1/c) = \(\sqrt{3}\).(ab+bc+ca)/abc = \(\sqrt{3}\).abc/abc = \(\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=3
=> ĐPCM
k mk nha
3.
\(5a^2+2ab+2b^2=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(4a^2+4ab+b^2\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(2a+b\right)^2\ge\left(2a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}\ge2a+b\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{2a+b}\)
Tương tự \(\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}\le\frac{1}{2b+c};\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}\le\frac{1}{2c+a}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\)
\(\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le\frac{1}{3}.\sqrt{3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\Rightarrow MaxP=\frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)
Câu 1 chuyên phan bội châu
câu c hà nội
câu g khoa học tự nhiên
câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ
câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)
Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !
Câu c quen thuộc, chém trước:
Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)
Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)
\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)
Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)
Done.
Ta có: \(\sqrt{a^2-ab+b^2}=\sqrt{\left(a+b\right)^2-3ab}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2-\dfrac{3.\left(a+b\right)^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}}\)
Tương tự: \(\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\sqrt{\dfrac{\left(b+c\right)^2}{4}};\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\sqrt{\dfrac{\left(a+c\right)^2}{4}}\)
\(\Rightarrow M\ge\sqrt{\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}}+\sqrt{\dfrac{\left(b+c\right)^2}{4}}+\sqrt{\dfrac{\left(c+a\right)^2}{4}}=\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{b+c}{2}+\dfrac{c+a}{2}\)
\(=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{2}=\dfrac{2.1}{2}=1\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)