NV
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
T
29 tháng 12 2019
Cách khác:
Xét hiệu:\(a^4+b^4+c^4-abc\left(a+b+c\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left[\left(a^2+c^2-2b^2\right)^2+\left(ab+bc-2ca\right)^2\right]+\frac{3}{4}\left(a-c\right)^2\left[\left(a+c\right)^2+b^2\right]\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
P/s: Bài đơn giản, làm 3 dòng:DDD (vắn tắt tuyệt đối)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 12 2019
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((a^4+b^4+c^4)(1+1+1)\geq (a^2+b^2+c^2)^2\)
\((a^2+b^2+c^2)(1+1+1)\geq (a+b+c)^2\)
\(\Rightarrow 3(a^4+b^4+c^4)\geq (a^2+b^2+c^2).\frac{(a+b+c)^2}{3}\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}{9}.(a+b+c)(1)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\((a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.3\sqrt[3]{abc}=9abc(2)\)
Từ $(1);(2)\Rightarrow a^4+b^4+c^4\geq abc(a+b+c)$
hay $\frac{a^4+b^4+c^4}{abc}\geq a+b+c$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
PT
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
21 tháng 4 2018
Lời giải:
Ta có:
\(a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)\)
\(=27-3(3-a)(3-b)(3-c)\)
\(=27-3[27-9(a+b+c)+3(ab+bc+ac)-abc]\)
\(=27-3[3(ab+bc+ac)-abc]=27-9(ab+bc+ac)+3abc\)
Do đó:
\(A=a^3+b^3+c^3+\frac{15}{4}abc=27-9(ab+bc+ac)+\frac{27}{4}abc(*)\)
Áp dụng BĐT Schur :
\(abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\)
\(\Leftrightarrow abc\geq (3-2a)(3-2b)(3-2c)\)
\(\Leftrightarrow abc\geq 27-18(a+b+c)+12(ab+bc+ac)-8abc\)
\(\Leftrightarrow 9abc\geq 12(ab+bc+ac)-27\)
\(\Leftrightarrow 3abc\geq 4(ab+bc+ac)-9\)
\(\Rightarrow \frac{27}{4}abc\geq 9(ab+bc+ac)-\frac{81}{4}(**)\)
Từ \((*); (**)\Rightarrow A\geq 27-\frac{81}{4}=\frac{27}{4}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
26 tháng 7 2019
a) \(x^4+y^4\ge xy\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4-x^3y-xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^3-y^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)
b) Áp dụng câu a) ta có :
\(b^4+c^4+a\ge bc\left(b^2+c^2\right)+a\)
Mặt khác : \(abc=1\Leftrightarrow bc=\frac{1}{a}\)
\(\Rightarrow b^4+c^4+a\ge\frac{b^2+c^2}{a}+a=\frac{a^2+b^2+c^2}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b^4+c^4+a}\le\frac{a}{\frac{a^2+b^2+c^2}{a}}=\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Chứng minh tương tự :
\(\frac{b}{c^4+a^4+b}\le\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2};\frac{c}{a^4+b^4+c}\le\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Cộng theo vế của 3 bất đẳng thức
\(\Rightarrow A\le\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
N
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 2 2020
Sử dụng bổ đề: \(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Cách chứng minh bổ đề kia bằng Dirichlet google rất nhiều.
Ta có: \(2a^2+2b^2+2c^2+2abc=8\)
\(\Leftrightarrow9=a^2+b^2+c^2+\left(a^2+b^2+c^2+2abc+1\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow9\ge\left(a+b+c\right)^2\Rightarrow a+b+c\le3\)
\(\Rightarrow3\left(a+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge ab+bc+ca=\frac{1}{2}\left[a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+a\left(b+c\right)\right]\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge\frac{1}{2}\left[a.2\sqrt{bc}+b.2\sqrt{ac}+c.2\sqrt{ab}\right]\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
KK
5 tháng 1 2017
Câu 2)
Ta có \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{b+1+a+1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\ge\frac{4}{3}\)
Ta có \(a+b=1\)
\(\Rightarrow\frac{3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\ge\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{3}{\left(a+1\right)b+a+1}\ge\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{3}{ab+b+a+1}\ge\frac{4}{3}\)
Ta có \(a+b=1\)
\(\Rightarrow\frac{3}{ab+2}\ge\frac{4}{3}\)
\(\Leftrightarrow9\ge4\left(ab+2\right)\)
\(\Rightarrow9\ge4ab+8\)
\(\Rightarrow1\ge4ab\)
Do \(a+b=1\Rightarrow\left(a+b\right)^2=1\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (đpcm )
KK
5 tháng 1 2017
Câu 3)
Ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)
Mà \(a+b+c=1\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\ge9\)
\(\Rightarrow a+b+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\sqrt[3]{abc}\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9.\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\) (điều này luôn luôn đúng)
\(\Rightarrow\) ĐPCM
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 12 2018
Lời giải:
Theo BĐT Schur bậc 3:
\(abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(3-2a)(3-2b)(3-2c)\)
\(\Leftrightarrow abc\geq 27+12(ab+bc+ac)-18(a+b+c)-8abc=-27+12(ab+bc+ac)-8abc\)
\(\Rightarrow 9abc\geq 12(ab+bc+ac)-27\Rightarrow abc\geq \frac{4}{3}(ab+bc+ac)-3\)
Do đó:
\(a^2+b^2+c^2+abc\geq a^2+b^2+c^2+\frac{4}{3}(ab+bc+ac)-3\)
\(=(a+b+c)^2-\frac{2}{3}(ab+bc+ac)-3=6-\frac{2}{3}(ab+bc+ac)\)
Mặt khác theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:
\(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc\geq 6-\frac{2}{3}(ab+bc+ac)\geq 6-\frac{2}{3}.3=4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 12 2018
Nếu bạn không được sử dụng thẳng BĐT Schur bậc 3 thì có thể CM nó thông qua BĐT AM-GM ngược dấu.
4 tháng 3 2019
câu 1.Ta có:
\(\frac{x^2}{x+3y}+\frac{x+3y}{16}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{x+3y}.\frac{x+3y}{16}}=\frac{x}{2}\)
\(\frac{y^2}{y+3x}+\frac{y+3x}{16}\ge2\sqrt{\frac{y^2}{y+3x}.\frac{y+3x}{16}}=\frac{y}{2}\)
\(\frac{x^2}{x+3y}+\frac{y^2}{y+3x}+\frac{x+y+3x+3y}{16}\ge\frac{x+y}{2}\)
\(\frac{x^2}{x+3y}+\frac{y^2}{y+3x}+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{2}\)
\(\frac{x^2}{x+3y}+\frac{y^2}{y+3x}\ge\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\left(đpcm\right)\)
Câu 2:
điều kiện \(a^2+b^2+c^2+d^2=4\)(đúng ko)
Ta có:
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{a^2+1}.\frac{a^2+1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{b^2+1}.\frac{b^2+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{b^2+1}.\frac{b^2+1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{c^2+1}+\frac{c^2+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{c^2+1}.\frac{c^2+1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{d^2+1}+\frac{d^2+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{d^2+1}.\frac{d^2+1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1}+\frac{a^2+b^2+c^2+d^2+4}{4}\ge4\)
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1}\ge4-\frac{8}{4}=2\left(đpcm\right)\)