Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?
Áp dụng bđt Bunhia-cốp-xki ở dạng phân thức, ta có:
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+b+c+c+a}=\dfrac{9}{2}\)( vì a+b+c=1)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a+b}=\dfrac{1}{b+c}=\dfrac{1}{c+a}\Leftrightarrow a+b=b+c=c+a\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)(vì a+b+c=1)
Ta có: \(a,b,c>0\)
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c+a+b+c}=\frac{3^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{2.1}=\frac{9}{2}\)
đpcm
Tham khảo nhé~
kudo shinichi nêú dùng kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho 3 số thì sao bn
\(BDT\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b}{\left(a+c\right)^2}+\frac{c}{\left(a+b\right)^2}\right)\ge\frac{9}{4}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b}{\left(a+c\right)^2}+\frac{c}{\left(a+b\right)^2}\right)\ge\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)^2\)
Theo BĐT Nesbitt thì : \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)^2\ge\frac{9}{4}\)
Không mất tính tổng quát, chuẩn hóa a + b + c = 3 \(\Rightarrow0< a,b,c< 3\)
Khi đó bất đẳng thức tương đương với: \(\frac{a}{\left(3-a\right)^2}+\frac{b}{\left(3-b\right)^2}+\frac{c}{\left(3-c\right)^2}\ge\frac{3}{4}\)
Xét BĐT phụ: \(\frac{x}{\left(3-x\right)^2}\ge\frac{2x-1}{4}\)với \(x\in\left(0;3\right)\)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2\left(-2x+9\right)}{4\left(3-x\right)^2}\ge0\)(đúng với mọi \(x\in\left(0;3\right)\))
Áp dụng, ta được: \(\frac{a}{\left(3-a\right)^2}+\frac{b}{\left(3-b\right)^2}+\frac{c}{\left(3-c\right)^2}\ge\frac{2a-1}{4}+\frac{2b-1}{4}+\frac{2c-1}{4}\)
\(=\frac{2\left(a+b+c\right)-3}{4}=\frac{3}{4}\left(q.e.d\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)\ge9abc\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số được
\(\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)\ge3\sqrt[3]{ab.bc.ca}.3\sqrt[3]{abc}=9abc\left(Đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
Cách thông dụng nè:
Theo BĐT Cô si cho 3 số:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\) (1)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) (2)
Nhân theo vế (1) và (2),ta có: \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge9\)
Chia cả hai vế của BĐT cho a + b + c,ta được: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}^{\left(đpcm\right)}\)
a)Bạn đặt A = a/ (1 + a^2). => A + a^2A = a => a^2A - a + A = 0. ta có delta = 1 - 4A^2 ( gọi ẩn số là a). => để pt có nghiệm <=> 1 - 4A^2 >= 0 => để phương trình có nghiệm => 1 - 4A^2 >= 0 => 1 >= 4A^2 => A =< 1/2. => max A = 1/2. bạn giải tương tự B = b/(1+b^2), C = c/(1 + c^2) rồi cộng vào nhau là ra ngay thôi. Đây là cách giải bằng delta.
b)bạn có (a^2 - b^2)/c = ((a+b)(a-b))/c >= (c + c)(a-b)/c = 2(a - b). Bạn có c =< b ( theo đề bài) = > c + b =< 2b => (c + b) =<2b => (c + b)/b <= 2 => (c + b)/a <= 2. từ đó ta có (c^2 - b^2)/a = (c -b )(c + b)/a >= 2(c - b).
chứng minh tương tự:(a + c)/b > 1 => (a^2 - c^2)/b >= a - c.( sr ngại gõ lắm) => cộng 3 vế ta được đpcm
Bài 1: Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương:
\(VT\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}{abc}}\ge3\sqrt[3]{\frac{8abc}{abc}}=6\) (đpcm)
Giải phần dấu "=" ra ta được a = b =c
Bài 2: Đặt \(a+b=x;b+c=y;c+a=z\)
Suy ra \(a=\frac{x-y+z}{2};b=\frac{x+y-z}{2};c=\frac{y+z-x}{2}\)
Suy ra cần chứng minh \(\frac{x-y+z}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}+\frac{y+z-x}{2x}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}+\frac{y+z}{2x}\ge3\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}\ge6\)
Bài toán đúng theo kết quả câu 1.